Có một ví dụ về hai sự kiện phụ thuộc nhân quả là độc lập về mặt logic (xác suất) không?

Hai sự kiện $A,B$độc lập khi Tôi đang cố gắng đi sâu vào định nghĩa này và cố gắng dung hòa nó với ý tưởng trực quan về sự độc lập của chúng ta trong thế giới thực. Tôi cảm thấy rằng phương trình có thể đạt được một cách tình cờ, không có bất kỳ căn cứ nào để độc lập thực sự.$P(A \cap B ) = P(A)P(B)$

Tôi đã cố gắng xây dựng một thí nghiệm tư duy để cho thấy rằng độc lập xác suất không có nghĩa là độc lập nhân quả. Ví dụ, hãy xem xét các sự kiện rời rạc lẫn nhau, đầy đủ:

• $A$ : trời không mưa
• $B$ : cỏ không xanh
• $C$ : trời đang mưa và cỏ xanh

Tôi đã cố gắng để xác định xác suất: $P(A) := p, P(B) := q, P(C) = 1 - p - q$ một cách tiện lợi để làm $A^c$ (trời đang mưa) và $B^c$(cỏ xanh) độc lập. Chúng ta sẽ có:

$$P(A^c \cap B^c ) = P(C) = 1-p-q$$ Và từ sự độc lập mong muốn của chúng tôi: $$P(A^c \cap B^c ) = P(A^c)P(B^c) = (1-P(A))(1-P(B)) = (1 - p)(1 - q)$$ Ngụ ý rằng: $$1-p-q = (1 - p)(1 - q)$$ Tuy nhiên, điều này chỉ xảy ra nếu một trong hai $p=0$ hoặc là $q=0$, trong trường hợp đó không có lý do để nói về các sự kiện như có bất kỳ quan hệ nhân quả nào cả.

Có một số ví dụ trực quan, linh hoạt về những gì tôi đã cố gắng chứng minh? Tôi đã suy nghĩ về một số biến$A$ có ảnh hưởng nhân quả $B$, mà còn trên một số biến thứ ba $C$ có tác dụng ngược lại chính xác $B$. Điều này có nghĩa là$A$ và $B$ là độc lập, nhưng tôi dường như không thể tìm thấy các công cụ phù hợp.

Hãy xem xét một cổng Exclusive-OR (XOR) là một mạch điện tử (cổng logic) có hai đầu vào$X$ và $Y$ và một đầu ra $Z$ Ở đâu $X,Y,Z$ nhận các giá trị trong tập rời rạc $\{0, 1\}$. Hãy nghĩ về những điều này như Boolean biến (hoặc biến ngẫu nhiên Bernouiii nếu bạn muốn).$Z$là nhân quả liên quan đến$X$ và $Y$ bởi hoạt động Exclusive-OR:

$$Z = X\oplus Y = X\bar{Y} \,\vee\, \bar{X}Y$$ nếu bạn là Booleander hoặc $$Z = X(1-Y)+(1-X)Y= X + Y -2XY$$ nếu bạn là người Bernoullist. Hãy là như nó có thể, giả sử rằng $X$ và $Y$là độc lập (có nghĩa là$P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)$ cho tất cả $a,b$ trong $\{0, 1\}$. Sau đó, $$\begin{align}P(Z=1) &= P(X\neq Y)\\ &=P(X=1, Y=0) + P(X=0, Y=1)\\ &= P(X=1)P(Y=0) + P(X=0)P(Y=1).\end{align}$$ Mọi thứ ổn cho đến nay? Bây giờ giả sử rằng$P(X=1) = P(Y=1)= \frac 12$. Sau đó, thật dễ dàng để xác minh rằng$P(Z=1) = \frac 12$cũng thế. Hiện nay,$Z$ và $X$rất chắc chắn có liên quan đến nguyên nhân: đầu ra của cổng XOR không phụ thuộc vào (các) đầu vào của nó. Nhưng, sự kiện $\{Z=1,X=1\}$xảy ra khi và chỉ khi sự kiện $\{X=1, Y=0\}$ xảy ra và vì vậy $$P(Z=1, X=1) = P(X=1,Y=0) = \frac 14 = P(Z=1)P(X=1) = \frac 12\times \frac 12$$ cho thấy các sự kiện liên quan đến nhân quả$\{Z=1\}$ và $\{X=1\}$trong thực tế là độc lập xác suất . Tương tự$\{Z=1\}$ và $\{Y=1\}$ độc lập, trên thực tế, ba sự kiện $\{X=1\}$, $\{Y=1\}$và $\{Z=1\}$là độc lập cặp đôi nhưng không độc lập lẫn nhau kể từ khi $$P(X=1, Y=1, Z=1) = 0 \neq P(X=1)P(Y=1)P(Z=1) = \frac 18.$$

Do đó, sự phụ thuộc nhân quả không cần phải được phản ánh trong sự phụ thuộc xác suất ; có thể có các sự kiện phụ thuộc nhân quả là độc lập xác suất. Tôi cũng sẽ nói rằng sự độc lập xác suất này hoàn toàn là một tài sản của thước đo xác suất : nếu chúng ta thực hiện$P(X=1)$ hoặc là $P(Y=1)$là bất kỳ số nào trong$(0,1)$ khác với$\frac 12$ mà tôi lén lút chọn ở trên, sự độc lập xác suất biến mất và các sự kiện phụ thuộc nhân quả cũng phụ thuộc vào xác suất.

---

Bạn có nghĩ rằng đây là một ví dụ kỳ quặc sẽ khó gặp trong đời thực, hãy xem xét tiêu chuẩn vàng trong lý thuyết và thực hành thống kê: ba biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn thông thường $X,Y,Z$. Bây giờ giả sử rằng mật độ khớp của họ $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$là không $\phi(x)\phi(y)\phi(z)$ Ở đâu $\phi(\cdot)$ là mật độ chuẩn thông thường (như trường hợp nếu $X,Y,Z$là các biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn độc lập lẫn nhau ), nhưng đúng hơn

$$f_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y)\phi(z) & ~~~~\text{if}~ x \geq 0, y\geq 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y < 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y\geq 0, z < 0,\\ & \text{or if}~ x \geq 0, y< 0, z < 0,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}\tag{1}$$ Lưu ý rằng $X$, $Y$và $Z$là không một bộ ba biến ngẫu nhiên cùng bình thường (có nghĩa là, họ không có một phân phối chuẩn nhiều chiều) nhưng nó có thể được chỉ ra rằng bất kỳ hai trong số những là thực sự là một cặp độc lập biến ngẫu nhiên bình thường tiêu chuẩn. Để biết chi tiết xác minh, xem nửa sau của câu trả lời này của tôi .

Trong mô hình nhân quả, loại điều này có thể xảy ra trong trường hợp có nhiều hiệu ứng nhân quả và chúng xảy ra để triệt tiêu lẫn nhau theo nghĩa xác suất. Do đó, có thể là$\mathcal{A}$ nguyên nhân $\mathcal{B}$nhưng nó cũng gây ra $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ và $\mathcal{E}$và những sự kiện sau này có tác động tiêu cực đến $\mathcal{B}$, theo cách hủy bỏ chính xác hiệu ứng nhân quả trực tiếp từ $\mathcal{A}$.

Trong các mô hình nhân quả xác suất, loại tình huống bệnh lý này thường được loại trừ bởi một giả định trung thành , giả định rằng các mối quan hệ xác suất là "trung thành" với cấu trúc nguyên nhân cơ bản, và không hủy bỏ. Một nguyên tắc cơ bản về nhân quả xác suất và giả định trung thành có thể được tìm thấy trong Từ điển bách khoa toàn thư Stanford .

Các ví dụ có thể được tạo ra theo ý muốn, bởi vì quan hệ nhân quả liên quan đến sự thật, nhưng xác suất liên quan đến logic.

Giả sử nó là một thực tế rằng $A \in \mathcal{A}$ và $B \in \mathcal{B}$ và $A = x$ nguyên nhân $B = y$. Bây giờ hãy xem xét thông tin đã cho$\mathcal{I} \equiv \unicode{8220}\text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$}\unicode{8221}$. Sau đó

$$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(B = b | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}||\mathcal{B}|} \end{align}$$

bởi vì độc lập là phân phối entropy tối đa phù hợp với $\mathcal{I}$.

Các sự kiện sau đó độc lập về mặt logic, được đưa ra $\mathcal{I}$, mặc dù bị phụ thuộc nhân quả.

Thật vô nghĩa khi nói về các sự kiện độc lập về mặt logic trong trường hợp không có bất kỳ giả định nào: logic đòi hỏi các giả định. Nguyên nhân, mặt khác, tồn tại độc lập với các giả định của chúng tôi.

Tất nhiên, các ý tưởng về quan hệ nhân quả là bản thân chúng hợp lý và khá khác biệt so với nguyên nhân. Vì vậy, nếu chúng ta tìm cách so sánh các ý tưởng nhân quả về các sự kiện với các ý tưởng logic về các sự kiện đó, thì thực tế chúng là một và cùng một điều. Ví dụ, nếu chúng ta có$\mathcal{I} \equiv \unicode{8220} \text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$ and $A = x$ causes $B = y$}\unicode{8221}$, sau đó

$$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(B = b | A = a, \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}|} \begin{cases} \delta_{b y} & A = x \\ \frac{1}{|\mathcal{B}|} & A \neq x \end{cases} \end{align}$$

trong đó logic thể hiện ý tưởng nhân quả.