Làm thế nào để chứng minh liệu trung bình của hàm mật độ xác suất có tồn tại không

Người ta biết rằng với một biến ngẫu nhiên có giá trị thực với pdf , giá trị trung bình của (nếu nó tồn tại) được tìm thấy bởi $X$ $f$ $X$

E [X] = \int_{R} x f (x) d x .

$\begin{equation} \mathbb{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}x\,f(x)\,\mathrm{d}x\,. \end{equation}$

Câu hỏi chung: Bây giờ, nếu người ta không thể giải tích phân trên ở dạng đóng mà muốn xác định đơn giản xem giá trị trung bình có tồn tại và là hữu hạn hay không, có cách nào để chứng minh điều đó không? Có (có lẽ) một số thử nghiệm tôi có thể áp dụng cho integrand để xác định xem các tiêu chí nhất định có được đáp ứng cho giá trị trung bình tồn tại không?

Câu hỏi cụ thể về ứng dụng: Tôi có pdf sau đây mà tôi muốn xác định xem giá trị trung bình có tồn tại không:

f (x) = \frac{| σ_{2}^{2} μ_{1} x + μ_{2} σ_{1}^{2} |}{σ_{1}^{3} σ_{2}^{3} a^{3} (x)} ϕ (\frac{μ_{2} x - μ_{1}}{σ_{1} σ_{2} a (x)}) for x \in R,

$\begin{equation} f(x)=\frac{|\sigma_{2}^{2}\mu_{1}x+\mu_{2}\sigma_{1}^{2}|}{\sigma_{1}^{3}\sigma_{2}^{3}a^{3}(x)}\,\phi\left(\frac{\mu_{2}x-\mu_{1}}{\sigma_{1}\sigma_{2}a(x)}\right)\qquad \text{for}\ x\in\mathbb{R}\,, \end{equation}$

trong đó , , và . $\mu_{1},\mu_{2}\in\mathbb{R}$ $\sigma_{1},\sigma_{2}>0$ $a(x)=\left(\frac{x^{2}}{\sigma_{1}^{2}}+\frac{1}{\sigma_{2}^{2}}\right)^{1/2}$ $\phi(g(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-g^{2}(x)/2}$

Tôi đã cố gắng giải quyết cho trung bình vô ích.

distributions mathematical-statistics expected-value

— Aaron Hendrickson
nguồn

trong câu hỏi cụ thể của bạn không phải là hàm mật độ thích hợp. giả sử , và , , sau đó cho .

f (x)

$f(x)$

μ_{1} = 1

$\mu_1 =1$

μ_{2} = 0

$\mu_2=0$

σ_{j} = 1

$\sigma_j = 1$

j = 1, 2

$j=1,2$

f (x) < 0

$f(x)<0$

x < 0

$x<0$

— EliKa

@EliKa Tìm tốt. Có thể có một lỗi đánh máy. Tôi sẽ kiểm tra và sửa câu hỏi. Điều đó nói rằng, tôi vẫn chủ yếu quan tâm đến phần "làm thế nào" của câu hỏi, tức là làm thế nào tôi có thể xác định xem giá trị trung bình có tồn tại và là hữu hạn không?

— Aaron Hendrickson

Bạn có thể thử giới hạn ở trên và dưới bởi một số hàm không âm và để bạn có thể tích hợp chúng. Nếu bạn có thể tích hợp , thì phân phối của bạn có nghĩa. Nếu , thì phân phối của bạn không có nghĩa.

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

u (x)

$u(x)$

\int b (x) d x = \infty

$\int b(x)dx = \infty$

— Ceph

@Ceph Đó là một gợi ý tốt. Là kỹ thuật dựa trên "định lý bóp"?

— Aaron Hendrickson

@AaronHendrickson Ý tưởng tương tự, nhưng (theo tôi hiểu) định lý bóp có một chút khác biệt. Sử dụng ST ở đây có thể trông như thế này: bạn tìm thấy và ràng buộc (thay vì ràng buộc như trong nhận xét trước đây của tôi) để bạn có thể tìm thấy , trong đó là giá trị trung bình của phân phối của bạn. Nhưng đó có lẽ không phải là một chiến lược hợp lý, vì bạn sẽ khó có thể tìm thấy và như vậy . (Chúng có thể khác với chỉ trên một tập hợp số 0 và do đó có lẽ sẽ không dễ tích hợp hơn .)

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

x f (x)

$xf(x)$

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

\int u (x) d x = \int b (x) d x = μ

$\int u(x) dx = \int b(x) dx= \mu$

μ

$\mu$

u

$u$

b

$b$

x f (x)

$xf(x)$

x f (x)

$xf(x)$

— Ceph

Không có kỹ thuật chung, nhưng có một số nguyên tắc đơn giản. Một là nghiên cứu hành vi đuôi của bằng cách so sánh nó với các chức năng có thể điều khiển được. $f$

Theo định nghĩa, kỳ vọng là giới hạn kép (vì và thay đổi độc lập) $y$ $z$

E_{y, z} [f] = lim_{y \to - \infty, z \to \infty} \int_{y}^{z} x f (x) d x = lim_{y \to - \infty} \int_{y}^{0} x f (x) d x + lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} x f (x) d x .

$E_{y,z}[f] = \lim_{y\to-\infty,z\to\infty}\int_y^z x f(x) dx = \lim_{y\to-\infty}\int_y^0 x f(x) dx+ \lim_{z\to\infty}\int_0^z x f(x) dx.$

Cách xử lý của hai tích phân bên phải là như nhau, vì vậy hãy tập trung vào tích phân. Một hành vi của đảm bảo giá trị giới hạn là so sánh nó với công suất . Giả sử là một số mà Điều này có nghĩa là tồn tại một và cho bất cứ khi nào . Chúng tôi có thể khai thác sự bất bình đẳng này bằng cách phá vỡ sự tích hợp vào các khu vực nơi và và áp dụng nó trong khu vực thứ hai: $f$ $x^{-p}$ $p$

\underset{x \to \infty}{lim inf} x^{p} f (x) > 0.

$\liminf_{x\to\infty} x^p f(x)\gt 0.$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

N > 1

$N\gt 1$

x^{p} f (x) \geq ϵ

$x^p f(x) \ge \epsilon$

x \in [N, \infty)

$x\in[N,\infty)$

x < N

$x\lt N$

x \geq N

$x \ge N$

\begin{aligned} \int_{0}^{z} x f (x) d x & = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (x^{p} f (x)) d x \\ \geq \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (ϵ) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \frac{ϵ}{2 - p} (z^{2 - p} - N^{2 - p}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^z x f(x) dx &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x f(x) dx \\ &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(x^p f(x)\right) dx \\ &\ge \int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(\epsilon\right) dx \\ &= \int_0^{N} x f(x) dx + \frac{\epsilon}{2-p}\left(z^{2-p} - {N}^{2-p}\right). }$

Được cung cấp , phía bên tay phải phân kỳ là . Khi tích phân ước tính cho logarit, $p\lt 2$ $z\to\infty$ $p=2$

\int_{N}^{z} x^{1 - 2} (ϵ) d x = ϵ (\log (z) - \log (N)),

$\int_{N}^z x^{1-2} \left(\epsilon\right) dx = \epsilon \left(\log(z) - \log(N)\right),$

Mà cũng phân kỳ.

Phân tích so sánh cho thấy rằng nếu cho , thì tồn tại. Tương tự, chúng tôi có thể kiểm tra xem có tồn tại bất kỳ khoảnh khắc nào của không: đối với , kỳ vọng của tồn tại khi đối với một số và không tồn tại khi đối với một số . Điều này giải quyết "câu hỏi chung." $|x|^pf(x)\to 0$ $p\gt 2$ $E[X]$ $X$ $\alpha\gt 0$ $|X|^\alpha$ $|x|^{p+\alpha}f(x)\to 0$ $p\gt 1$ $\liminf |x|^{p+\alpha}f(x)\gt 0$ $p \le 1$

Hãy áp dụng cái nhìn sâu sắc này cho câu hỏi. Bằng cách kiểm tra, rõ ràng là cho lớn. Do đó, khi đánh giá , chúng tôi có thể loại bỏ bất kỳ thuật ngữ phụ gia nào cuối cùng sẽ bị thay đổi bởi. Do đó, lên đến hằng số khác không, cho $a(x)\approx |x|/\sigma_1$ $|x|$ $f$ $|x|$ $x\gt 0$

f (x) \approx \frac{μ_{1} x}{σ_{2} x^{3}} ϕ (\frac{μ_{2} x}{σ_{2} x}) = x^{- 2} \frac{μ_{1}}{σ_{2}} \exp ({(- \frac{μ_{2}}{2 σ_{2}})}^{2}) .

$f(x) \approx \frac{\mu_1 x}{\sigma_2 x^3}\phi\left(\frac{\mu_2 x}{\sigma_2 x}\right) = x^{-2}\frac{\mu_1}{\sigma_2}\exp\left(\left(-\frac{\mu_2}{2\sigma_2}\right)^2\right).$

Do đó tiếp cận hằng số khác không. Theo kết quả trước, kỳ vọng phân kỳ. $x^2 f(x)$

Vì là giá trị nhỏ nhất của hoạt động trong đối số này-- sẽ về 0 vì cho mọi - rõ ràng (và hơn thế nữa phân tích chi tiết của sẽ xác nhận) rằng tốc độ phân kỳ là logarit. Đó là, cho lớnvà, có thể được xấp xỉ gần đúng bởi sự kết hợp tuyến tính của và . $2$ $p$ $|x|^pf(x)$ $|x|\to\infty$ $p\lt 2$ $f$ $|y|$ $|z|$ $E_{y,z}[f]$ $\log(|y|)$ $\log(|z|)$

— whuber
nguồn