Phân phối Poisson có ổn định không và có các công thức đảo ngược cho MGF không?

Đầu tiên, tôi có một câu hỏi về việc phân phối Poisson có "ổn định" hay không. Rất ngây thơ (và tôi không quá chắc chắn về các bản phân phối "ổn định"), tôi đã tìm ra cách phân phối một tổ hợp tuyến tính của Poisson phân phối RV, sử dụng sản phẩm của MGF. Có vẻ như tôi nhận được một Poisson khác, với tham số bằng với tổ hợp tuyến tính của các tham số của RV riêng lẻ. Vì vậy, tôi kết luận rằng Poisson là "ổn định". Tôi đang thiếu gì?

Thứ hai, có các công thức đảo ngược cho MGF giống như có các hàm đặc trưng không?

distributions poisson-distribution mgf

— Frank
nguồn

Nó được đóng dưới (độc lập) các khoản tiền , nhưng không phải là tổ hợp tuyến tính tùy ý. Nếu bạn bao gồm công việc của bạn, tôi nghi ngờ bạn sẽ thấy tại sao trong quá trình này; và, nếu không, ai đó sẽ có thể chỉ ra nó. Vâng, có một số tương tự đảo ngược với chức năng đặc trưng. Bạn biết gì về biến đổi Laplace và tích hợp đường viền Bromwich?

— Đức hồng y

OK, tôi sẽ quay lại bảng vẽ. Tôi có MGF của Poisson thứ i là: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Vì vậy, sản phẩm của n Poisson MGF cung cấp cho tôi: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) và tôi lấy lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * mới lambda_i. Bây giờ tôi sợ tôi sẽ trông thật ngu ngốc khi phạm một sai lầm rõ ràng. - Tôi biết về biến đổi Laplace và tích hợp đường viền nói chung, nhưng không tích hợp đường viền Bromwish. - Bạn có đề nghị làm việc với các CF hơn là các MGF nói chung không? Có vẻ như mạnh mẽ hơn.

— Frank

Là gì trong bình luận của bạn? Ngoài ra, bao quanh toán học LaTeX của bạn bằng các ký hiệu đô la để làm cho nó hoạt động (sử dụng \ exp để làm cho "exp" xuất hiện đúng và \ lambda để tạo , \ sum cho , v.v.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

Vâng, tôi không giỏi về LaTex, nhưng rồi đây. Vì vậy, tổ hợp RV tuyến tính của tôi là: và sản phẩm của MGF của họ là: , nếu tôi đúng, nếu RV được phân phối dưới dạng . Tôi đã sử dụng cùng một t cho tất cả các RV, nhưng tôi cần sử dụng .

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

Sai lầm là MGF của là chứ không phải

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

Câu trả lời:

Kết hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Poisson

Như bạn đã tính toán, hàm khoảnh khắc tạo của phân phối Poisson với tốc độ là $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

Bây giờ, chúng ta hãy tập trung vào một sự kết hợp tuyến tính của độc lập Poisson biến ngẫu nhiên và . Hãy . Khi đó, $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

Vì vậy, nếu có tốc độ và có tỉ lệ , chúng ta get $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$ Và điều này có thể không, nói chung, được viết theo hình thức đối với một số trừ khi .

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Đảo ngược các hàm tạo mô men

Nếu hàm tạo mô men tồn tại trong vùng lân cận bằng 0, thì nó cũng tồn tại dưới dạng hàm có giá trị phức tạp trong một dải vô hạn quanh 0. Điều này cho phép đảo ngược bằng cách tích hợp đường viền để đi vào hoạt động trong nhiều trường hợp. Thật vậy, biến đổi Laplace của biến ngẫu nhiên không âm là một công cụ phổ biến trong lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt để phân tích thời gian dừng. Lưu ý rằng cho có giá trị thực $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ . Bạn nên chứng minh như một bài tập rằng biến đổi Laplace luôn tồn tại với cho các biến ngẫu nhiên không âm. $s \geq 0$

Đảo ngược sau đó có thể được thực hiện thông qua tích phân Bromwich hoặc công thức đảo ngược Post . Một cách giải thích xác suất của cái sau có thể được tìm thấy như một bài tập trong một số văn bản xác suất cổ điển.

Mặc dù không liên quan trực tiếp, bạn cũng có thể quan tâm đến lưu ý sau đây.

JH Curtiss (1942), Một lưu ý về lý thuyết về các hàm tạo mô men , Ann. Môn Toán. Thống kê , tập 13, không. 4, tr 430 430433.

Lý thuyết liên quan được phát triển phổ biến hơn cho các chức năng đặc trưng vì chúng hoàn toàn chung chung: Chúng tồn tại cho tất cả các bản phân phối mà không có hỗ trợ hoặc hạn chế thời điểm.

— hồng y
nguồn

(+1) Công thức đảo ngược hoàn toàn là lý thuyết hay đôi khi nó thực sự được sử dụng?

— gui11aume

@ gui11aume: Nó được sử dụng ở những nơi; nhưng, các ví dụ bạn thường tìm thấy trong một văn bản thường chính xác là các ví dụ mà bạn không cần nó. :)

— Đức hồng y

Vì vậy, có lẽ làm việc với CF dễ dàng hơn so với MGF? Các MGF không luôn tồn tại, phải không? Tại sao phải bận tâm với họ?

— Frank

@Frank: Về mặt sư phạm, họ dễ dàng giới thiệu hơn với những sinh viên biết tính toán, nhưng có ít hoặc không có nền tảng về các biến phức tạp. Khi chúng tồn tại, chúng có các thuộc tính hoàn toàn tương tự với các CF. Chúng đóng vai trò quan trọng trong một số phần của lý thuyết xác suất và thống kê lý thuyết, ví dụ, độ lệch lớn và độ nghiêng theo cấp số nhân.

— Đức hồng y

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

Tôi không biết các công thức đảo ngược cho MGF (nhưng dường như @cardinal).

— gui11aume
nguồn

(+1) Bởi vì tôi thích các bằng chứng minh họa đơn giản và các mẫu phản biện ngay lập tức mang đến sự tiên phong cho vấn đề.

— Đức hồng y

Tôi có một câu hỏi về thuật ngữ. Trong các số liệu thống kê, tôi đã nghiên cứu các phân phối ổn định là những phân phối giới hạn của các phân phối thỏa mãn điều kiện hội tụ được gọi là luật ổn định. Đây là những phân phối bất thường liên tục. Là một phân phối cho các giới hạn của Z trung bình chuẩn hóa nhưng định lý giới hạn trung tâm không áp dụng cho Z vì hành vi đuôi của phân bố dân số. Trên thực tế, định lý giới hạn trung tâm có thể thuộc về các định luật ổn định nếu một tham số nhất định alpha = 2.

— Michael R. Chernick

Những gì bạn đang gọi ổn định ở đây là gần hơn với số tiền mà dường như đối với tôi giống như thuật ngữ chia hết vô hạn. Trong các lĩnh vực là thuật ngữ ổn định được sử dụng cho điều này là gì? Là nó đang trở nên được sử dụng trong xác suất và thống kê?

— Michael R. Chernick

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$