Tính toán phân phối tích lũy của mức giảm tối đa của bước đi ngẫu nhiên với độ trôi

9

Tôi quan tâm đến việc phân phối mức giảm tối đa của một lần đi bộ ngẫu nhiên: Đặt trong đó . Mức giảm tối đa sau giai đoạn là . Một bài báo của Magdon-Ismail et. al. cung cấp phân phối cho sự rút xuống tối đa của một chuyển động Brown với sự trôi dạt. Biểu thức liên quan đến một tổng vô hạn bao gồm một số thuật ngữ chỉ được định nghĩa ngầm. Tôi đang gặp vấn đề khi viết một triển khai hội tụ. Có ai biết về một biểu thức thay thế của CDF hoặc một triển khai tham chiếu trong mã không? $X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$ $Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$ $n$ $\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

— shabbychef
nguồn

Làm thế nào chính xác để bạn cần nó? Bạn chỉ có thể mô phỏng đi bộ và tránh các giải pháp đầy đủ chức năng?

— kyle

điểm tốt. Tôi không cần độ chính xác cấp nguyên tử-vật lý. Trên thực tế, 3 sigfigs có lẽ vẫn ổn ....

— shabbychef

Điều đó sẽ cần khoảng một triệu lượt đi bộ ngẫu nhiên mô phỏng ...

— whuber

4

Đây là một khoản tiền xen kẽ. Mỗi cặp liên tiếp gần như hủy bỏ; số tiền như vậy cuối cùng giảm đơn điệu.

Sau đó, một cách tiếp cận là tính tổng theo các cặp trong đó = {1,2}, {3,4}, {5,6}, v.v. (Làm như vậy cũng giúp loại bỏ rất nhiều lỗi dấu phẩy động.) nhiều thủ thuật có thể giúp: $n$

(1) Để giải quyết cho hằng số dương , giá trị khởi đầu tốt để tìm kiếm - và một xấp xỉ tuyệt vời cho lớn nhất-- là . Tôi nghi ngờ Newton-Raphson nên hoạt động thực sự tốt. $\tan(t) = t / \alpha$ $\alpha$ $n^\text{th}$ $t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(2) Sau một số lượng nhỏ các điều khoản ban đầu, tổng của các cặp bắt đầu giảm kích thước rất, rất nhất quán. Các logarit của các giá trị tuyệt đối của các cặp theo cấp số nhân nhanh chóng giảm gần như tuyến tính. Điều này có nghĩa là bạn có thể nội suy giữa một số lượng rất nhỏ các cặp tổng được tính toán để ước tính tất cả các khoản tiền mà bạn không tính được. Ví dụ: bằng cách tính các giá trị cho chỉ các cặp (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), ..., (16384, 16385) và xây dựng đa thức nội suy cho các cặp này (được coi là các giá trị của hàm tại 1, 2, ..., 14) và sử dụng các đối số $h = \mu = \sigma = 1$ , Tôi đã có thể đạt được độ chính xác sáu con số cho các trường hợp xấu nhất. (Thậm chí đẹp hơn, các lỗi dao động trong dấu hiệu, cho thấy độ chính xác trong các giá trị nội suy tổng hợp có thể tốt hơn một chút so với sáu con số.) chuyển thành một định luật lũy thừa) và tích hợp hàm ngoại suy ra vô cùng. Để hoàn thành tính toán ví dụ này, bạn cũng cần thuật ngữ đầu tiên. Điều đó mang lại độ chính xác sáu con số chỉ bằng 29 thuật ngữ được tính toán trong tổng kết.

(3) Lưu ý rằng hàm thực sự phụ thuộc vào và , không phụ thuộc vào cả ba biến này. Sự phụ thuộc vào là yếu (như nó phải vậy); bạn có thể hài lòng để sửa giá trị của nó trong tất cả các tính toán của bạn. $h/\sigma$ $\mu/\sigma$ $T$

(4) Trên hết, hãy cân nhắc sử dụng một số phương pháp tăng tốc chuỗi , như phương pháp của Aitken . Một kế toán tốt về điều này xuất hiện trong Công thức số .

Thêm

(5) Bạn có thể ước tính đuôi của tổng bằng tích phân. Khi viết , phương trình (với ) có thể được giải cho , nhỏ, sau đó cho bằng cách thay thế trở lại. Mở rộng tiếp tuyến trong chuỗi Taylor trong cung cấp giải pháp gần đúng $\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$ $\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$ $\alpha = \mu h / \sigma^2$ $t_n$ $\theta_n$ $t_n$

θ_{n} = z - \frac{α}{z} - \frac{α^{2} - α^{3} / 3}{z^{3}} + O ((\frac{α}{n})^{5})

$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$

trong đó . $z = (n + 1/2)\pi$

Với điều kiện đủ lớn, các yếu tố theo cấp số nhân của mẫu trở nên cực kỳ gần với 1 để bạn có thể bỏ qua chúng. Thông thường, các thuật ngữ này có thể bị bỏ qua ngay cả đối với nhỏ vì là , làm cho số mũ đầu tiên về 0 cực kỳ nhanh chóng. (Điều này xảy ra khi vượt quá đáng kể . Hãy tính toán cho lớn nếu bạn có thể!) $n$ $1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$ $n$ $\theta_n^2$ $\Theta\left(n^2\right)$ $n$ $\alpha / T^{1/2}$ $T$

Sử dụng biểu thức này cho để tổng hợp các thuật ngữ cho và cho phép chúng tôi tính gần đúng chúng (một khi tất cả các khói đã xóa) như $\theta_n$ $n$ $n+1$

\frac{2}{π n^{2}} - \frac{4}{π n^{3}} + \frac{13 π^{2} + 6 (4 - 3 α) α}{2 π^{3} n^{4}} + O (\frac{1}{n^{5}}) .

$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$

Thay thế tổng bắt đầu từ bằng một tích phân trên bắt đầu từ xấp xỉ đuôi. (Tích phân phải được nhân với hệ số chung của .) Lỗi trong tích phân là . Do đó, để đạt được ba số liệu có ý nghĩa, thông thường bạn sẽ cần tính khoảng tám hoặc hơn các thuật ngữ trong tổng và sau đó thêm xấp xỉ đuôi này. $n = 2N$ $N$ $N - 1/4$ $\exp(-\alpha)$ $O(1/n^4)$

— whuber
nguồn

1

điều này thực sự tuyệt vời và cần phải đi một chặng đường dài đối với CDF. Trên và ngoài vật liệu huy hiệu.

— shabbychef

2

Bạn có thể bắt đầu bằng cách xem xét các hàm phân phối giải ngân trong fBasics . Vì vậy, bạn có thể dễ dàng mô phỏng chuyển động brownian với drift và áp dụng các chức năng này như một sự khởi đầu.

— Shane
nguồn

+1 Đó là một câu trả lời khá trực tiếp, xem xét các hàm này thực hiện các công thức trong bài báo!

— whuber

Có vẻ như gói này tính toán mức rút tối đa dự kiến dựa trên giấy, nhưng không tính được CDF. Bài viết đưa ra kết quả 'phím tắt', IIRC, để tính toán kỳ vọng đó.

— shabbychef

@shabbychef Xin lỗi, tôi đã bỏ lỡ điều tốt đẹp đó. Tôi thấy làm thế nào để có được toàn bộ CDF có thể hữu ích hơn là chỉ biết kỳ vọng. (Rủi ro tài chính không chỉ là tổn thất dự kiến ...) Nhưng bây giờ tôi cảm thấy tốt hơn một chút về công việc tôi đã làm để ước tính CDF!

— whuber