Giải thích trực quan về đơn vị gốc

Làm thế nào bạn sẽ giải thích trực quan một gốc đơn vị là gì, trong bối cảnh của kiểm tra gốc đơn vị?

Tôi đang suy nghĩ theo những cách giải thích giống như tôi đã sáng lập trong câu hỏi này .

Trường hợp với đơn vị gốc là tôi biết (ít thôi, nhân tiện) rằng kiểm tra gốc đơn vị được sử dụng để kiểm tra sự ổn định trong một chuỗi thời gian, nhưng đó chỉ là nó.

Làm thế nào bạn sẽ đi để giải thích nó cho giáo dân, hoặc cho một người đã nghiên cứu một khóa học xác suất và thống kê rất cơ bản?

CẬP NHẬT

Tôi chấp nhận câu trả lời của người đánh bóng vì đó là những gì phản ánh hầu hết những gì tôi hỏi ở đây. Nhưng tôi kêu gọi tất cả mọi người đến đây để đọc câu trả lời của Patrick và Michael, vì họ là "bước tiếp theo" tự nhiên trong việc tìm hiểu Root Root. Họ sử dụng toán học, nhưng theo một cách rất trực quan.

Anh vừa mới đến cầu; và không nhìn thấy nơi anh ta đang đi, anh ta vấp phải thứ gì đó, và hình nón linh sam nhảy ra khỏi chân anh ta xuống sông.

"Phiền," Pooh nói, khi nó trôi chậm dưới cây cầu, và anh quay lại để lấy một cây thông khác có vần với nó. Nhưng sau đó anh ta nghĩ rằng anh ta sẽ chỉ nhìn vào dòng sông, vì đó là một ngày yên bình, vì vậy anh ta nằm xuống và nhìn nó, và nó trượt dần dần bên dưới anh ta. . . và đột nhiên, có hình nón linh sam của anh ta trượt đi quá.

"Thật buồn cười," Pooh nói. "Tôi đã đánh rơi nó ở phía bên kia", Pooh nói, "và nó xuất hiện ở phía bên này! Tôi tự hỏi liệu nó có làm lại không?"

AA Milne, Ngôi nhà ở góc Pooh (Chương VI. Trong đó Pooh phát minh ra một trò chơi mới và eeyore tham gia.)

Dưới đây là hình ảnh của dòng chảy dọc theo mặt nước:

Các mũi tên cho thấy hướng của dòng chảy và được kết nối bằng các dòng tinh giản. Một hình nón linh sam sẽ có xu hướng đi theo dòng chảy trong đó nó rơi xuống. Nhưng nó không phải lúc nào cũng làm theo cùng một cách mỗi lần, ngay cả khi nó rơi xuống cùng một vị trí trong dòng: các biến thể ngẫu nhiên dọc theo đường đi của nó, gây ra bởi sự hỗn loạn trong nước, gió và các ý tưởng khác của thiên nhiên đá nó vào lân cận dòng suối.

Ở đây, hình nón linh sam được thả xuống gần góc trên bên phải. Nó ít nhiều đi theo các dòng suối - nơi hội tụ và chảy xuống và sang trái - nhưng phải mất rất ít đường vòng trên đường đi.

"Quá trình tự phát" (quy trình AR) là một chuỗi các con số được cho là hành xử giống như các luồng nhất định. Hình minh họa hai chiều tương ứng với một quá trình trong đó mỗi số được xác định bởi hai giá trị trước đó - cộng với một "đường vòng" ngẫu nhiên. Sự tương tự được thực hiện bằng cách giải thích từng cặp liên tiếp trong chuỗi dưới dạng tọa độ của một điểm trong luồng. Ngay lập tức, dòng chảy của luồng thay đổi tọa độ của hình nón theo cách toán học tương tự được đưa ra bởi quy trình AR.

Chúng ta có thể khôi phục quy trình ban đầu từ hình ảnh dựa trên dòng chảy bằng cách viết tọa độ của từng điểm bị chiếm bởi hình nón linh sam và sau đó xóa tất cả trừ số cuối cùng trong mỗi bộ tọa độ.

Thiên nhiên - và đặc biệt là các luồng - phong phú và đa dạng hơn các luồng tương ứng với các quy trình AR. Bởi vì mỗi số trong chuỗi được giả sử phụ thuộc theo cùng một cách cố định vào các tiền thân của nó - ngoài phần đường vòng ngẫu nhiên - các luồng minh họa các quy trình AR thể hiện các mẫu hạn chế. Chúng thực sự có thể chảy như suối, như đã thấy ở đây. Chúng cũng có thể trông giống như xoáy xung quanh một cống. Các dòng chảy có thể xảy ra ngược lại, dường như chảy ra từ cống. Và chúng có thể trông giống như miệng của hai con suối đâm vào nhau: hai nguồn nước chảy trực tiếp vào nhau và sau đó tách ra hai bên. Nhưng đó là về nó. Bạn không thể có một dòng chảy với các dòng chảy sang hai bên. Quá trình AR là quá đơn giản cho điều đó.

Trong dòng chảy này, hình nón linh sam được thả ở góc dưới bên phải và nhanh chóng được đưa vào xoáy ở phía trên bên phải, mặc dù có những thay đổi nhỏ ngẫu nhiên về vị trí mà nó trải qua. Nhưng nó sẽ không bao giờ ngừng di chuyển, do những chuyển động ngẫu nhiên tương tự giải cứu nó khỏi lãng quên. Các tọa độ của hình nón linh hoạt di chuyển xung quanh một chút - thực sự, chúng được nhìn thấy dao động, trên tổng thể, xung quanh tọa độ của tâm xoáy. Trong luồng luồng đầu tiên, tọa độ tiến triển chắc chắn dọc theo trung tâm của luồng, nó nhanh chóng chiếm được hình nón và mang nó đi nhanh hơn các đường vòng ngẫu nhiên của nó có thể làm chậm nó: chúng có xu hướng kịp thời. Ngược lại, xung quanh một xoáy sẽ minh họa một văn phòng phẩmquá trình trong đó hình nón linh sam bị bắt; chảy xuống dòng suối, trong đó hình nón chảy ra khỏi tầm nhìn - xu hướng - là không cố định.

Ngẫu nhiên, khi dòng chảy cho một quá trình AR di chuyển xuôi dòng, nó cũng tăng tốc. Nó càng lúc càng nhanh hơn khi hình nón di chuyển dọc theo nó.

Bản chất của luồng AR được xác định bởi một số hướng đặc biệt, "đặc trưng", thường thấy rõ trong sơ đồ luồng: các luồng hợp lý dường như hội tụ về phía hoặc đến từ các hướng này. Người ta luôn có thể tìm thấy nhiều hướng đặc trưng như có các hệ số trong quy trình AR: hai trong các minh họa này. Liên kết với mỗi hướng đặc trưng là một số, "gốc" hoặc "giá trị riêng". Khi kích thước của số nhỏ hơn thống nhất, dòng chảy theo hướng đặc trưng đó sẽ hướng đến một vị trí trung tâm. Khi kích thước của gốc lớn hơn sự thống nhất, dòng chảy sẽ tăng tốc ra khỏi vị trí trung tâm.$1$--is bị chi phối bởi các lực ngẫu nhiên ảnh hưởng đến hình nón. Đó là một "bước đi ngẫu nhiên." Các hình nón có thể đi lang thang chậm nhưng không tăng tốc.

(Một số hình hiển thị giá trị của cả hai gốc trong tiêu đề của chúng.)

Ngay cả Pooh - một con gấu có bộ não rất nhỏ - sẽ nhận ra rằng dòng suối sẽ chỉ bắt được hình nón linh sam của mình khi tất cả dòng chảy hướng về một xoáy hoặc xoáy; mặt khác, trên một trong những đường vòng ngẫu nhiên đó, hình nón cuối cùng sẽ tự tìm thấy dưới ảnh hưởng của phần dòng chảy đó với một gốc lớn hơn độ lớn, từ đó nó sẽ đi lang thang xuôi dòng và bị mất mãi mãi. Do đó, một quy trình AR có thể đứng yên khi và chỉ khi tất cả các giá trị đặc trưng nhỏ hơn kích thước thống nhất .$1$

Các nhà kinh tế có lẽ là nhà phân tích vĩ đại nhất của chuỗi thời gian và người sử dụng công nghệ xử lý AR. Hàng loạt dữ liệu của họ thường không tăng tốc ra khỏi tầm nhìn. Do đó, họ lo ngại chỉ có một hướng đặc trưng mà giá trị của nó có thể lớn bằng về kích thước: một "đơn vị gốc". Việc biết liệu dữ liệu có phù hợp với dòng chảy như vậy hay không có thể cho nhà kinh tế biết nhiều về số phận tiềm năng của cây gậy của mình: đó là về những gì sẽ xảy ra trong tương lai. Đó là lý do tại sao việc kiểm tra một đơn vị gốc có thể rất quan trọng. Một bài viết Wikipedia tốt giải thích một số ý nghĩa.$1$

Pooh và bạn bè của ông đã tìm thấy một bài kiểm tra thực nghiệm về sự ổn định:

Bây giờ, một ngày nọ, Pooh và Piglet và Rabbit và Roo cùng chơi Poohsticks. Họ đã đánh rơi gậy của mình khi Rabbit nói "Đi!" và sau đó họ đã vội vã sang phía bên kia của cây cầu, và bây giờ tất cả họ đều nghiêng qua rìa, chờ đợi xem cây gậy nào sẽ ra trước. Nhưng đó là một thời gian dài sắp tới, bởi vì dòng sông ngày đó rất lười biếng và dường như không bận tâm nếu nó không bao giờ đến đó.

"Tôi có thể nhìn thấy tôi!" đã khóc. "Không, tôi không thể, nó là thứ gì khác "

"Không," Pooh nói.

"Tôi hy vọng cây gậy của mình bị kẹt", ông Roo nói. "Thỏ, cây gậy của tôi bị kẹt. Cây gậy của bạn có bị kẹt không, Piglet?"

"Họ luôn mất nhiều thời gian hơn bạn nghĩ," Rabbit nói.

Đoạn văn này, từ năm 1928, có thể được hiểu là "Thử nghiệm đơn vị đầu tiên".

Tưởng tượng hai quá trình :$AR(1)$

• Quy trình 1:$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• Quy trình 2:$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$ được rút ra từ$N(0,1)$

Quy trình 1 không có gốc đơn vị. Quy trình 2 có một đơn vị gốc. Bạn có thể xác nhận điều này bằng cách tính đa thức đặc trưng cho câu trả lời của Michael.

Hãy tưởng tượng chúng ta bắt đầu cả hai quá trình ở mức 0, tức là . Bây giờ hãy tưởng tượng điều gì xảy ra khi chúng ta có một "hoạt động tốt" của các epsilon tích cực và tưởng tượng rằng cả hai quá trình đều đạt được .$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

Chuyện gì xảy ra tiếp theo? Chúng ta mong đợi chuỗi sẽ đi về đâu?

Chúng tôi hy vọng rằng . Vì vậy, chúng tôi hy vọng trường hợp Quy trình 1 có , , v.v.$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

Nhưng chúng tôi mong đợi cho Quy trình 2 rằng , , v.v.$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

Vì vậy, một trực giác là, khi một "vận may tốt / xui xẻo" đẩy một quá trình với một đơn vị gốc xung quanh, chuỗi "bị kẹt trong vị trí" bởi điều tốt hay xấu trong lịch sử. Nó vẫn sẽ thay đổi xung quanh một cách ngẫu nhiên, nhưng không có gì "buộc nó trở lại". Mặt khác, khi không có gốc đơn vị và quá trình không nổ tung, sẽ có một "lực" trong quy trình sẽ làm cho quá trình trôi về vị trí cũ, mặc dù tiếng ồn ngẫu nhiên vẫn sẽ làm đảo lộn một chút .

" kẹt" có thể bao gồm các dao động không bị suy giảm, một ví dụ đơn giản là: . Điều này sẽ nảy qua lại từ dương sang âm, nhưng dao động không được xác định là sẽ nổ tung đến vô cùng hoặc ẩm xuống không. Bạn có thể nhận được nhiều dạng "bị kẹt" hơn, bao gồm các loại dao động phức tạp hơn.$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

Hãy xem xét quá trình tự động theo thứ tự đầu tiên trong đó là nhiễu trắng. Mô hình cũng có thể được biểu thị với tất cả các ở một bên là

Sử dụng toán tử chúng ta có thể biểu diễn lại mô hình một cách gọn gàng dưới dạng hoặc, tương ứng, Đa thức đặc trưng là . Điều này có một gốc (duy nhất) tại . Sau đó, với chúng ta có một quy trình cố định và đối với chúng ta có một quy trình không nổ . Với chúng ta có một bước đi ngẫu nhiên là không cố định và một đơn vị gốc . Vì vậy, các rễ đơn vị tạo thành ranh giới giữa cố định và không cố định. Các$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$