Sự khác biệt giữa hàm tạo mô men và hàm tạo xác suất là gì?

Tôi bối rối giữa hai thuật ngữ "hàm tạo xác suất" và "hàm tạo mô men". Làm thế nào để các điều khoản khác nhau?

Hàm tạo xác suất thường được sử dụng cho các biến ngẫu nhiên có giá trị nguyên (không âm), nhưng thực sự chỉ là đóng gói lại hàm tạo mô men. Vì vậy, hai chứa thông tin giống nhau.

Đặt là biến ngẫu nhiên không âm. Sau đó (xem https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) hàm tạo xác suất được xác định là G ( z ) = E z X và hàm tạo thời điểm là M X ( t ) = E e t X Bây giờ hãy xác định log z = t sao cho e t = z . Khi đó G ( z ) = E z X = $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ Vì vậy, để kết luận, mối quan hệ rất đơn giản: G ( z ) = M X ( log z $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

$G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$

Hãy để chúng tôi xác định cả hai đầu tiên và sau đó xác định sự khác biệt.

1) Trong lý thuyết xác suất và thống kê, hàm tạo mô men (mgf) của biến ngẫu nhiên có giá trị thực là một đặc điểm kỹ thuật thay thế của phân phối xác suất của nó.

2) Trong lý thuyết xác suất, hàm tạo xác suất (pgf) của biến ngẫu nhiên rời rạc là biểu diễn chuỗi lũy thừa (hàm tạo) của hàm khối lượng xác suất của biến ngẫu nhiên.

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Như @kjetilbhalvorsen chỉ ra, pgf áp dụng cho các biến không âm thay vì chỉ các biến ngẫu nhiên rời rạc. Do đó, mục Wikipedia hiện tại trong hàm tạo xác suất có lỗi thiếu sót và cần được cải thiện.