Khi nào luật số lượng lớn thất bại?

Câu hỏi chỉ đơn giản là những gì được nêu trong tiêu đề: Khi nào luật số lượng lớn thất bại? Ý tôi là, trong những trường hợp nào thì tần suất của một sự kiện sẽ không hướng đến xác suất lý thuyết?

Có hai định lý (của Kolmogorov) và cả hai đều yêu cầu giá trị mong đợi là hữu hạn. Cái đầu tiên giữ khi các biến là IID, cái thứ hai, khi lấy mẫu là độc lập và phương sai của $X_n$ thỏa mãn

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

Giả sử rằng tất cả $X_n$ đều có giá trị kỳ vọng 0, nhưng phương sai của chúng là $n^2$ do đó điều kiện rõ ràng là thất bại. Điều gì xảy ra sau đó? Bạn vẫn có thể tính toán một giá trị trung bình ước tính, nhưng điều đó có nghĩa là sẽ không có xu hướng về 0 khi bạn lấy mẫu ngày càng sâu hơn. Nó sẽ có xu hướng lệch nhiều hơn và nhiều hơn khi bạn tiếp tục lấy mẫu.

Hãy cho một ví dụ. Giả sử là đồng nhất U ( - n 2 n , n 2 n ) để điều kiện trên không thành công.$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

Bằng cách lưu ý rằng

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

chúng ta thấy bằng cách cảm ứng rằng trung bình tính luôn nằm trong khoảng ( - 2 n , 2 n ) . Bằng cách sử dụng cùng một công thức cho n + 1 , chúng tôi cũng thấy rằng luôn luôn có một cơ hội lớn hơn so với 1 / 8 rằng ˉ X n + 1 lời nói dối bên ngoài ( - 2 n , 2 n ) . Thật vậy, X n + $\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$ là thống nhấtU(-2n+1,2n+1)và dối trá bên ngoài(-2n,2n)với xác suất1/4. Mặt khác,$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$là(-2n,2n)bằng cảm ứng, và bởi sự đối xứng đó là tích cực với xác suất1/2. Từ những quan sát nó sau ngay lập tức mà ˉ X n+1lớn hơn2nhoặc nhỏ hơn-2n, mỗi với một xác suất lớn hơn1/16. Vì xác suất mà| ˉ X n+1| $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$ lớn hơn 1 / 8 , không thể có sự hội tụ về 0 khi n đi đến vô cùng.$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

Bây giờ, cụ thể trả lời câu hỏi của bạn, hãy xem xét một sự kiện . Nếu tôi hiểu rõ, bạn hỏi "trong những điều kiện nào thì câu sau đây là sai?"$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

Trong đó là hàm chỉ thị của sự kiện A , tức là 1 A ( X k ) = 1 nếu X k ∈ A và 0 khác và X k được phân phối giống hệt (và phân phối như X ).$1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

Chúng ta thấy rằng điều kiện trên sẽ giữ, bởi vì phương sai của hàm chỉ thị được giới hạn ở trên 1/4, đây là phương sai tối đa của biến Bernouilli 0-1. Tuy nhiên, những gì có thể đi sai là giả định thứ hai của quy luật mạnh của số lượng lớn, cụ thể là lấy mẫu độc lập . Nếu các biến ngẫu nhiên không được lấy mẫu độc lập thì sự hội tụ không được đảm bảo.$X_k$

Ví dụ: nếu = X 1 với mọi k thì tỷ lệ sẽ là 1 hoặc 0, bất kể giá trị của n là bao nhiêu , do đó, sự hội tụ không xảy ra (tất nhiên trừ khi A có xác suất 0 hoặc 1). Đây là một ví dụ giả và cực đoan. Tôi không nhận thức được các trường hợp thực tế nơi hội tụ đến xác suất lý thuyết sẽ không xảy ra. Tuy nhiên, tiềm năng tồn tại nếu lấy mẫu không độc lập.$X_k$$X_1$$k$$n$$A$