Có khái quát về dấu vết Pillai và dấu vết của Hotelling-Lawley không?

Trong bối cảnh của hồi quy đa biến (hồi quy vectơ và hồi quy), bốn phép thử chính cho giả thuyết chung (Wilk's Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley và Roy's Rootest Root) đều phụ thuộc vào giá trị bản địa của ma trận , trong đó và là ma trận biến thể 'được giải thích' và 'tổng'. $H E^{-1}$ $H$ $E$

Tôi đã nhận thấy rằng cả hai số liệu thống kê của Pillai và Hotelling-Lawley đều có thể được biểu thị dưới dạng tương ứng, . Tôi đang xem xét một ứng dụng trong đó phân phối dấu vết này, được xác định cho các tương tự dân số của và , là mối quan tâm cho trường hợp . (lỗi modulo trong công việc của tôi.) Tôi tò mò nếu có một số thống nhất được biết đến của số liệu thống kê mẫu cho chung , hoặc một số tổng quát khác mà chụp hai hoặc nhiều trong số bốn thử nghiệm cổ điển. Tôi nhận ra rằng với không bằng hoặc

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , tử số không còn trông giống như một hình vuông Chi dưới null, và do đó, một xấp xỉ F trung tâm có vẻ đáng nghi ngờ, vì vậy có lẽ đây là một ngõ cụt.

Tôi hy vọng rằng đã có một số nghiên cứu về phân phối dưới giá trị null ( tức là ma trận thực của các hệ số hồi quy đều bằng 0) và theo phương án thay thế. Tôi đặc biệt quan tâm đến trường hợp , nhưng nếu có công việc đối với trường hợp chung , tất nhiên tôi có thể sử dụng trường hợp đó. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— shabbychef
nguồn

Đợi đã, là biến thể 'E'xplained và là biến thể' T'otal? Chỉ cần kiểm tra ghi nhớ của tôi.

H

$H$

E

$E$

— Đức hồng y

@cardinal, đúng vậy. Khi là bình phương nhỏ nhất đa biến phù hợp với các hệ số tương quan, chúng ta có và Một tổng quan hình ảnh lớn (theo nghĩa đen) từ Michael Friendly đã khá hữu ích đối với tôi: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/ (

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

Cảm ơn! Tôi sẽ có một cái nhìn. (Nhân tiện, tôi đã chỉ trêu chọc dựa trên sự lựa chọn các chữ cái, 'h' cho 'giải thích' và 'e' cho 'tổng'.) Nhân tiện, câu hỏi thú vị; (+1) từ tôi.

— Đức hồng y

@cardinal Tôi không đủ caffein để nhận thấy trò đùa. Đúng, việc ghi nhớ là xấu, nhưng sự lựa chọn của và (và ) là khá chuẩn.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef

Trò đùa này đủ tệ đến mức nó sẽ cần rất nhiều caffeine để chú ý.

— Đức hồng y

Tôi tưởng tượng rằng sự khái quát hóa năng suất sẽ xuất phát từ những quan sát rằng

một số thử nghiệm này là các chỉ tiêu của vectơ , vì vậy dấu vết của Hotelling-Lawley là chỉ tiêu , và gốc lớn nhất của Roy là định mức , . ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
một số thử nghiệm này có thể là một chỉ tiêu của ma trận , ví dụ: gốc lớn nhất của Roy là quang phổ, hoặc , . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
một số thử nghiệm có thể thuộc dạng entropy tổng quát , ví dụ, dấu vết của Hotelling-Lawley là GE (1), gốc lớn nhất của Roy là GE ( ) và Wilks ' là GE (-1) trên , cho đến mỗi lần chuyển đổi đơn điệu. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Khi các chỉ tiêu khác hoặc các tham số entropy tổng quát khác được giải trí, các số liệu thống kê khác có thể được đưa ra có thể có ý nghĩa. Tuy nhiên, tôi nghi ngờ rằng bất kỳ ai trong số họ sẽ tạo ra của bạn . $\psi_2$

— StasK
nguồn

Tôi tin rằng chúng ta có , trong đó là giá trị riêng của . Nhưng điều đó dường như không đưa tôi đến bất cứ nơi nào. Tôi đoán rằng tôi không biết đủ về việc phân phối các khoản tiền bản địa ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef