Tại sao kỳ vọng giống như trung bình số học?

Hôm nay tôi bắt gặp một chủ đề mới gọi là Kỳ vọng toán học. Cuốn sách tôi đang theo dõi nói, kỳ vọng là trung bình số học của biến ngẫu nhiên đến từ bất kỳ phân phối xác suất nào. Nhưng, nó định nghĩa kỳ vọng là tổng sản phẩm của một số dữ liệu và xác suất của nó. Làm thế nào hai điều này (trung bình và kỳ vọng) có thể giống nhau? Làm thế nào tổng số xác suất nhân với dữ liệu là trung bình của toàn bộ phân phối?

Một cách không chính thức, phân phối xác suất xác định tần suất tương đối của kết quả của một biến ngẫu nhiên - giá trị dự kiến ​​có thể được coi là trung bình có trọng số của các kết quả đó (được tính theo tần số tương đối). Tương tự, giá trị mong đợi có thể được coi là giá trị trung bình số học của một tập hợp số được tạo theo tỷ lệ chính xác với xác suất xảy ra của chúng (trong trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục, điều này không chính xác vì giá trị cụ thể có xác suất ).$0$

Mối liên hệ giữa giá trị mong đợi và giá trị trung bình số học là rõ ràng nhất với một biến ngẫu nhiên rời rạc, trong đó giá trị mong đợi là

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

Trong đó là không gian mẫu. Ví dụ: giả sử bạn có một biến ngẫu nhiên rời rạc sao cho:$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

Nghĩa là, hàm khối lượng xác suất là , và . Sử dụng công thức trên, giá trị mong đợi là$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

Bây giờ hãy xem xét các số được tạo với tần số chính xác tỷ lệ với hàm khối xác suất - ví dụ: tập hợp các số - hai s, sáu s và tám s. Bây giờ lấy trung bình số học của các số này:$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

và bạn có thể thấy nó chính xác bằng giá trị mong đợi.

Kỳ vọng là giá trị trung bình hoặc giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên không phải là phân phối xác suất. Do đó, đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, trung bình có trọng số của các giá trị, biến ngẫu nhiên sẽ sử dụng trọng số theo tần suất xuất hiện tương đối của các giá trị riêng lẻ đó. Đối với một biến ngẫu nhiên hoàn toàn liên tục, nó là tích phân của các giá trị x nhân với mật độ xác suất. Dữ liệu quan sát có thể được xem là giá trị của một tập hợp các biến ngẫu nhiên phân phối giống hệt nhau. Giá trị trung bình mẫu (hoặc kỳ vọng mẫu) được định nghĩa là kỳ vọng của dữ liệu đối với phân phối theo kinh nghiệm cho dữ liệu được quan sát. Điều này làm cho nó đơn giản là trung bình số học của dữ liệu.

Chúng ta hãy chú ý đến các định nghĩa:

Giá trị trung bình được định nghĩa là tổng của một tập hợp các số chia cho số lượng số trong bộ sưu tập. Phép tính sẽ là "cho i trong 1 đến n, (tổng của x sub i) chia cho n."

Giá trị mong đợi (EV) là giá trị trung bình dài hạn của các lần lặp lại của thử nghiệm mà nó đại diện. Phép tính sẽ là "cho i trong 1 đến n, tổng của sự kiện x sub i nhân với xác suất của nó (và tổng của tất cả p sub i phải = 1)."

Trong trường hợp chết một cách công bằng, dễ dàng thấy rằng giá trị trung bình và EV là như nhau. Có nghĩa là - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3.5 và EV sẽ là:

thăm dò xp * x

0,177 1 0,17

0.167 2 0.33

0.167 3 0,50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV = tổng (p * x) = 3,50

Nhưng chuyện gì sẽ xảy ra nếu cái chết không "công bằng". Một cách dễ dàng để tạo ra một cái chết không công bằng sẽ là khoan một lỗ ở góc ở giao điểm của 4, 5 và 6 mặt. Bây giờ chúng ta hãy nói rằng xác suất cán 4, 5 hoặc 6 trên cái chết quanh co mới và được cải thiện của chúng ta bây giờ là .2 và xác suất để cán 1, 2 hoặc 3 bây giờ là 0,33. Đó là cùng một khuôn với 6 mặt, một số trên mỗi mặt và giá trị trung bình của chết này vẫn là 3,5. Tuy nhiên, sau khi lăn cái chết này nhiều lần, EV của chúng tôi hiện là 3,8 vì xác suất cho các sự kiện không còn giống nhau cho tất cả các sự kiện.

thăm dò xp * x

0.133 1 0.13

0,125 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4 0,80

0,200 5 1,00

0,200 6 1,20

EV = tổng (p * x) = 3,80

Một lần nữa, hãy cẩn thận và quay trở lại định nghĩa trước khi kết luận rằng một điều sẽ luôn luôn "giống" như một điều khác. Hãy xem cách một con súc sắc bình thường được thiết lập và khoan một lỗ ở 7 góc khác và xem EVs thay đổi như thế nào - hãy vui vẻ.

Bob_T

Sự khác biệt duy nhất giữa "giá trị trung bình" và "giá trị mong đợi" là giá trị trung bình đó được sử dụng chủ yếu cho phân phối tần suất và kỳ vọng được sử dụng để phân phối xác suất. Trong phân phối tần số, không gian mẫu bao gồm các biến và tần số xuất hiện của chúng. Trong phân phối xác suất, không gian mẫu bao gồm các biến ngẫu nhiên và xác suất của chúng. Bây giờ chúng ta biết rằng tổng xác suất của tất cả các biến trong không gian mẫu phải là = 1. Đây là sự khác biệt cơ bản. Thuật ngữ mẫu số cho kỳ vọng luôn luôn = 1. (tức là Tổng f (xi) = 1) Tuy nhiên, không có hạn chế nào như vậy đối với tổng tần số (về cơ bản là tổng số mục).