Hồi quy lượng tử tiết lộ các mối quan hệ khác nhau ở các lượng tử khác nhau: làm thế nào?

Hồi quy lượng tử (QR) đôi khi được cho là tiết lộ các mối quan hệ khác nhau giữa các biến ở các lượng tử khác nhau của phân phối. Ví dụ: Le Cook et al. "Suy nghĩ vượt ra ngoài ý nghĩa: một hướng dẫn thực tế để sử dụng các phương pháp hồi quy lượng tử cho nghiên cứu dịch vụ y tế" ngụ ý rằng QR cho phép mối quan hệ giữa kết quả quan tâm và các biến giải thích không khác nhau giữa các giá trị khác nhau của các biến.

Tuy nhiên, theo như tôi biết, trong một tiêu chuẩn tuyến tính mô hình hồi quy với ε là iid và không phụ thuộc vào X , các ước lượng QR cho dốc

$$y = \beta_0 + \beta X + \varepsilon$$ $\varepsilon$$X$$\beta$là phù hợp với độ dốc dân số (là duy nhất và không có cách nào khác nhau giữa các lượng tử). Đó là, đối tượng được ước tính luôn giống nhau, bất kể lượng tử. Phải thừa nhận rằng, đây không phải là trường hợp của việc chặn, vì công cụ ước tính chặn QR nhằm mục đích ước tính một lượng tử cụ thể của phân phối lỗi. Được kết hợp với nhau, tôi không thấy các mối quan hệ khác nhau giữa các biến được cho là được tiết lộ ở các lượng tử khác nhau thông qua QR. Tôi đoán đây là một thuộc tính của mô hình hồi quy tuyến tính tiêu chuẩn chứ không phải là một sai lầm trong cách hiểu của tôi, nhưng tôi không chắc chắn.

Tôi cho rằng tình hình là khác nhau khi một số giả định của mô hình tuyến tính tiêu chuẩn bị vi phạm, ví dụ như dưới một số dạng không đồng nhất có điều kiện. Sau đó, có lẽ các công cụ ước tính độ dốc QR hội tụ đến một thứ khác ngoài độ dốc thực sự của mô hình tuyến tính và bằng cách nào đó tiết lộ các mối quan hệ khác nhau ở các lượng tử khác nhau.

Tôi đang làm gì sai? Làm thế nào tôi nên hiểu / giải thích chính xác tuyên bố rằng hồi quy lượng tử cho thấy mối quan hệ khác nhau giữa các biến ở các lượng tử khác nhau?

$x$$x$$x$. Trong QR bạn sẽ thấy ngay điều này từ các ước tính độ dốc rất khác nhau. Vì OLS chỉ quan tâm đến giá trị trung bình (tức là lượng tử trung bình), bạn không thể mô hình hóa từng lượng tử riêng biệt. Ở đó, bạn hoàn toàn dựa vào giả định về hình dạng cố định của phân phối có điều kiện khi đưa ra tuyên bố về lượng tử của nó.

EDIT: Nhúng bình luận và minh họa

Nếu bạn sẵn sàng đưa ra các giả định mạnh mẽ đó, sẽ không có nhiều điểm khi chạy QR vì bạn luôn có thể tính toán các lượng tử có điều kiện thông qua trung bình có điều kiện và phương sai cố định. Độ dốc "thực" của tất cả các lượng tử sẽ bằng độ dốc thực của giá trị trung bình. Trong một mẫu cụ thể, tất nhiên sẽ có một số biến thể ngẫu nhiên. Hoặc thậm chí bạn có thể phát hiện ra rằng các giả định nghiêm ngặt của mình là sai ...

$$y = x + x \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, 1) \ \text{iid},$$ $y$$x$

• Các đường hồi quy của giá trị trung bình và trung bình về cơ bản là giống nhau do phân bố điều kiện đối xứng. Độ dốc của chúng là 1.
• Đường hồi quy của lượng tử 80% dốc hơn nhiều (độ dốc 1.9), trong khi đường hồi quy của lượng tử 20% gần như không đổi (độ dốc 0,3). Điều này rất phù hợp với phương sai cực kỳ bất bình đẳng.
• $x$

Mã để tạo hình ảnh:

library(quantreg)

set.seed(3249)
n <- 1000
x <- seq(0, 1, length.out = n)
y <- rnorm(n, mean = x, sd = x)

plot(y~x)

(fit_lm <- lm(y~x)) # intercept: 0.02445, slope: 1.04858 
abline(fit_lm, lwd = 3)

# quantile cuts
taus <- c(0.2, 0.5, 0.8)

(fit_rq <- rq(y~x, tau = taus))
#               tau= 0.2      tau= 0.5    tau= 0.8
# (Intercept) 0.00108228 -0.0005110046 0.001089583
# x           0.29960652  1.0954521888 1.918622442

lapply(seq_along(taus), function(i) abline(coef(fit_rq)[, i], lwd = 2, lty = 2, col = "red"))