Lỗi trong xấp xỉ bình thường với phân phối tổng thống nhất

Một phương pháp ngây thơ để xấp xỉ phân phối bình thường là cộng lại có lẽ biến ngẫu nhiên IID được phân phối đồng đều trên , sau đó truy xuất lại và bán lại, dựa trên Định lý giới hạn trung tâm. ( Lưu ý bên cạnh : Có nhiều phương pháp chính xác hơn như biến đổi Box Mull Muller .) Tổng các biến ngẫu nhiên IID được gọi là phân phối tổng thống nhất hoặc phân phối Hall của Irwin . $100$ $[0,1]$ $U(0,1)$

Làm thế nào lớn là lỗi trong xấp xỉ một phân phối tổng thống nhất bằng một phân phối bình thường?

Bất cứ khi nào loại câu hỏi này xuất hiện để tính gần đúng tổng các biến ngẫu nhiên IID, mọi người (bao gồm cả tôi) sẽ đưa ra Định lý Berry mật Esseen , đây là phiên bản hiệu quả của Định lý giới hạn trung tâm cho rằng thời điểm thứ ba tồn tại:

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{C ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

Trong đó là hàm phân phối tích lũy cho tổng số thay đổi của biến ngẫu nhiên IID, là thời điểm trung tâm thứ ba tuyệt đối, là độ lệch chuẩn và là hằng số tuyệt đối có thể được lấy là hoặc thậm chí . $F_n$ $n$ $\rho$ $E|(X-EX)^3|$ $\sigma$ $C$ $1$ $1/2$

Điều này là không thỏa đáng. Dường như với tôi, ước tính Berry Berry Esseen gần nhất với độ sắc nét trên các phân phối nhị thức rời rạc, với sai số lớn nhất là đối với phân phối nhị thức đối xứng. Các lỗi lớn nhất đến ở bước nhảy lớn nhất. Tuy nhiên, phân phối tổng thống nhất không có bước nhảy. $0$

Các thử nghiệm số cho thấy rằng lỗi thu nhỏ nhanh hơn . $c/\sqrt n$

Sử dụng , ước tính Berry Berry Esseen là $C=1/2$

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0,650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

mà cho khoảng , , và , tương ứng. Sự khác biệt tối đa thực tế cho dường như lần lượt là khoảng , và , nhỏ hơn nhiều và dường như giảm xuống dưới dạng thay vì . $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ $c/\sqrt n$

— Douglas Zare
nguồn

Nếu bạn mở rộng phân phối tổng trong một bản mở rộng Edgeworth , bạn thấy rằng thống nhất trong như (vì phân phối đồng đều là đối xứng), vì vậy nghe có vẻ đúng. Vì thuật ngữ , điều đó không mang lại cho bạn một ràng buộc nào ...

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$

— MånsT

Cảm ơn, có vẻ như nó giải thích mẫu cho nhiều bản phân phối khác.

c / n

$c/n$

— Douglas Zare

Hãy được iid các biến ngẫu nhiên và xem xét tổng bình thường $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$

S_{n} = = \frac{\sqrt{3} Σ_{tôi = = 1}^{n} {Bạn}_{tôi}}{b \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

δ_{n} = = \underset{x \in R}{bữa tối} | F_{n} (x) - Φ (x) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

Bổ đề 1 ( Uspensky ): buộc sau trên giữ. $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7,5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} điểm kinh nghiệm (- π^{2} n / 24) .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

Bằng chứng . Xem JV Uspensky (1937), Giới thiệu về xác suất toán học , New York: McGraw-Hill, tr. 305.

Điều này sau đó đã được R. Sherman cải thiện thành như sau.

Bổ đề 2 ( Sherman ): Sự cải tiến sau đây đối với việc giữ ràng buộc Uspensky.

δ_{n} < \frac{1}{7,5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7,5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

Chứng minh : Xem R. Sherman, Lỗi về xấp xỉ bình thường với tổng N biến ngẫu nhiên , Biometrika , vol. 58, không 2, 396

Bằng chứng là một ứng dụng khá đơn giản của bất đẳng thức tam giác và giới hạn cổ điển ở đuôi phân phối chuẩn và trên được áp dụng cho các hàm đặc trưng của mỗi hai phân phối. $(\sin x) / x$

— hồng y
nguồn

+1 trong Bổ đề 2?

N = n

$N=n$

@Procrastinator: Bắt tốt.

— Đức hồng y

2

$2$