Giá trị dự kiến ​​của thời gian chờ cho đầu tiên của hai xe buýt chạy cứ sau 10 và 15 phút

Tôi bắt gặp một câu hỏi phỏng vấn:

Có một chuyến tàu màu đỏ cứ sau 10 phút. Có một chuyến tàu màu xanh cứ sau 15 phút. Cả hai đều bắt đầu từ một thời gian ngẫu nhiên để bạn không có bất kỳ lịch trình nào. Nếu bạn đến ga vào một thời điểm ngẫu nhiên và đi trên bất kỳ chuyến tàu nào đến trước, thời gian chờ đợi dự kiến ​​là bao nhiêu?

Một cách để tiếp cận vấn đề là bắt đầu với chức năng sinh tồn. Để phải chờ ít nhất $t$ phút, bạn phải đợi ít nhất phút cho cả tàu đỏ và xanh. Do đó, chức năng sinh tồn tổng thể chỉ là sản phẩm của các chức năng sinh tồn riêng lẻ:$t$

đó, cho , là xác suất mà bạn sẽ phải chờ ít nhất t phút cho chuyến tàu tiếp theo. Điều này tính đến việc làm rõ OP trong một nhận xét rằng các giả định chính xác cần đưa ra là mỗi chuyến tàu đều có thời gian biểu cố định độc lập với thời gian đến của người đi lại và các giai đoạn của hai chuyến tàu được phân bổ đồng đều ,$0 \le t \le 10$$t$

Sau đó, pdf được lấy là

Và giá trị mong đợi thu được theo cách thông thường:

,$E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

mà làm việc đến phút.$\frac{35}{9}$

The answer is

Here's the MATLAB code to simulate:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

Assuming each train is on a fixed timetable independent of the other and of the traveller's arrival time, the probability neither train arrives in the first $x$ minutes is $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ for $0 \le x \le 10$, which when integrated gives $\frac{35}9\approx 3.889$ minutes

Alternatively, assuming each train is part of a Poisson process, the joint rate is $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ trains a minute, making the expected waiting time $6$ minutes

I am probably wrong but assuming that each train's starting-time follows a uniform distribution, I would say that when arriving at the station at a random time the expected waiting time for:

1. the $R$ed train is $\mathbb{E}[R] = 5$ mins
2. the $B$lue train is $\mathbb{E}[B] = 7.5$ mins
3. the train that comes the first is $\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$ mins

Suppose that red and blue trains arrive on time according to schedule, with the red schedule beginning $\Delta$ minutes after the blue schedule, for some $0\le\Delta<10$. For definiteness suppose the first blue train arrives at time $t=0$.

Assume for now that $\Delta$ lies between $0$ and $5$ minutes. Between $t=0$ and $t=30$ minutes we'll see the following trains and interarrival times: blue train, $\Delta$, red train, $10$, red train, $5-\Delta$, blue train, $\Delta + 5$, red train, $10-\Delta$, blue train. Then the schedule repeats, starting with that last blue train.

If $W_\Delta(t)$ denotes the waiting time for a passenger arriving at the station at time $t$, then the plot of $W_\Delta(t)$ versus $t$ is piecewise linear, with each line segment decaying to zero with slope $-1$. So the average wait time is the area from $0$ to $30$ of an array of triangles, divided by $30$. This gives

If $\Delta$ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

This is a Poisson process. The red train arrives according to a Poisson distribution wIth rate parameter 6/hour.
The blue train also arrives according to a Poisson distribution with rate 4/hour. Red train arrivals and blue train arrivals are independent. Total number of train arrivals Is also Poisson with rate 10/hour. Since the sum of The time between train arrivals is exponential with mean 6 minutes. Since the exponential mean is the reciprocal of the Poisson rate parameter. Since the exponential distribution is memoryless, your expected wait time is 6 minutes.