Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên chia cho trung bình gì?

Đặt là IID và . Điều này có vẻ hiển nhiên, nhưng tôi gặp khó khăn khi chính thức bắt nguồn từ nó. $X_i$ $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$

E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$

probability random-variable expected-value

— stollenm
nguồn

Đặt $X_1,\dots,X_n$ là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối giống hệt nhau và xác định

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

Giả sử rằng . Vì các được phân phối giống hệt nhau, nên đối xứng cho chúng ta biết rằng, với , các biến ngẫu nhiên (phụ thuộc) có cùng phân phối: Nếu kỳ vọng tồn tại (đây là một điểm rất quan trọng), thì và, với , chúng ta có $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = = \dots = = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1}{n} (E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

Hãy xem liệu chúng ta có thể kiểm tra điều này bằng cách đơn giản Monte Carlo.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Tốt, và kết quả không thay đổi nhiều dưới sự lặp lại.

— thiền học
nguồn

(+1) Kết luận rằng không tồn tại là đúng, nhưng yêu cầu một đối số tinh vi hơn bất kỳ đối số nào bạn đã liên kết đến, bởi vì và không độc lập.

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber: Bạn có thể mở rộng điều này một chút không, Bill? Tôi đã đề cập đến sự phụ thuộc của và trong một trong những ý kiến cho câu hỏi được liên kết. Ngoài ra, câu trả lời của Xi'an giải quyết trường hợp bằng một phép biến đổi đơn giản. Ông cũng đã phân phối trong một trong những bình luận của mình. Cảm ơn bạn đã suy nghĩ của bạn về điều này.

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar{X}$

n = 2

$n=2$

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$

— Thiền

@whuber: Tôi nghĩ rằng lời giải thích của tôi có hiệu quả vì là , là một Cauchy tiêu chuẩn. Không phụ thuộc liên quan.

X_{Tôi} / \bar{X} = = n / {1 + X_{2} / X_{1} + \dots + X_{n} / X_{1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$

Z

$Z$

— Tây An

@ Xi'an: bạn đã sử dụng ở đây chưa (xem xét trường hợp ), vì và là tiêu chuẩn Cauchy, sau đó cũng là tiêu chuẩn Cauchy? Nhưng điều đó không đúng vì và không độc lập, phải không?

n = 3

$n=3$

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$

(U + V) / 2

$(U+V)/2$

U

$U$

V

$V$

— Zen

@Zen: Tuy nhiên, và là các biến thể Bình thường độc lập, do đó là một tỷ lệ Cauchy, nếu với tỷ lệ chứ không phải .

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$

X_{1}

$X_1$

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

n - 1

$n-1$

— Tây An