Xác suất mà người này là nữ là gì?

Có một người đứng sau bức màn - Tôi không biết người đó là nữ hay nam.

Tôi biết người có mái tóc dài và 90% tất cả những người có mái tóc dài là nữ

Tôi biết người có nhóm máu hiếm AX3 và 80% tất cả những người có nhóm máu này là nữ.

Xác suất người đó là nữ là bao nhiêu?

LƯU Ý: công thức ban đầu này đã được mở rộng với hai giả định tiếp theo: 1. Nhóm máu và chiều dài tóc là độc lập 2. Tỷ lệ nam: nữ trong dân số lớn là 50:50

(Kịch bản cụ thể ở đây không liên quan lắm - thay vào đó, tôi có một dự án khẩn cấp đòi hỏi tôi phải suy nghĩ về cách tiếp cận chính xác để trả lời điều này. Tôi cảm thấy đó là một câu hỏi về xác suất đơn giản, với một câu trả lời dứt khoát đơn giản hơn một cái gì đó có nhiều câu trả lời gây tranh cãi theo các lý thuyết thống kê khác nhau.)

Nhiều người thấy hữu ích khi nghĩ về một nhóm "dân số", và các tỷ lệ (chứ không phải xác suất). Điều này cho vay để lý luận trực quan.

Tôi sẽ giải thích các con số một cách chi tiết, nhưng ý định là so sánh nhanh giữa hai con số sẽ ngay lập tức và cho thấy một cách thuyết phục như thế nào và tại sao không có câu trả lời cụ thể cho câu hỏi. Một bài kiểm tra dài hơn một chút sẽ cho thấy thông tin bổ sung nào sẽ hữu ích để xác định câu trả lời hoặc ít nhất là có được giới hạn về câu trả lời.

Huyền thoại

Nở chéo : nữ / Nền rắn : nam.

Hàng đầu : tóc dài / Dưới : tóc ngắn.

Phải (và có màu) : AX3 / Trái (không màu) : không phải AX3.

Dữ liệu

Nở chéo hàng đầu là 90% hình chữ nhật trên cùng ("90% tất cả những người có mái tóc dài là nữ").

Tổng số nở chéo trong hình chữ nhật màu bên phải là 80% hình chữ nhật đó ("80% tất cả những người có nhóm máu này là nữ.")

Giải trình

Sơ đồ này cho thấy sơ đồ làm thế nào dân số (của tất cả phụ nữ và không phải nữ giới đang xem xét) có thể được phân chia đồng thời thành nữ / không nữ, AX3 / không AX3, và tóc dài / không dài ("ngắn"). Nó sử dụng diện tích, ít nhất là xấp xỉ, để thể hiện tỷ lệ (có một số cường điệu để làm cho hình ảnh rõ hơn).

Rõ ràng là ba phân loại nhị phân này tạo ra tám nhóm có thể. Mỗi nhóm xuất hiện ở đây.

Thông tin được đưa ra nói rằng hình chữ nhật nở trên (con cái có lông dài) bao gồm 90% hình chữ nhật trên (tất cả những người có mái tóc dài). Nó cũng nói rằng các phần nở chéo kết hợp của hình chữ nhật màu (con cái có lông dài với AX3 và con cái có lông ngắn với AX3) chiếm 80% vùng màu ở bên phải (tất cả những người có AX3). Chúng ta được biết rằng ai đó nằm ở góc trên bên phải (mũi tên): người có mái tóc dài với AX3. Tỷ lệ nào của hình chữ nhật này là nở chéo (nữ)?

Tôi cũng đã (mặc nhiên) cho rằng nhóm máu và chiều dài tóc là độc lập : tỷ lệ của hình chữ nhật trên (tóc dài) có màu (AX3) bằng với tỷ lệ của hình chữ nhật dưới (tóc ngắn) có màu (AX3). Đó là ý nghĩa của sự độc lập. Đó là một giả định công bằng và tự nhiên để đưa ra khi giải quyết những câu hỏi như thế này, nhưng tất nhiên nó cần phải được nêu ra.

Vị trí của hình chữ nhật nở chéo phía trên (con cái có lông dài) là không rõ. Chúng ta có thể tưởng tượng trượt cạnh hình chữ nhật nở chéo trên cùng và trượt cạnh hình chữ nhật nở chéo bên dưới và có thể thay đổi chiều rộng của nó. Nếu chúng ta làm điều này để 80% hình chữ nhật màu vẫn nở chéo, sự thay đổi như vậy sẽ không thay đổi thông tin đã nêu, nhưng nó có thể thay đổi tỷ lệ nữ trong hình chữ nhật phía trên bên phải. Rõ ràng tỷ lệ có thể nằm trong khoảng từ 0% đến 100% và vẫn phù hợp với thông tin được cung cấp, như trong hình ảnh này:

---

Một điểm mạnh của phương pháp này là nó thiết lập sự tồn tại của nhiều câu trả lời cho câu hỏi. Người ta có thể dịch tất cả các đại số này và, bằng cách quy định xác suất, đưa ra các tình huống cụ thể như các ví dụ có thể, nhưng sau đó câu hỏi sẽ đặt ra liệu các ví dụ đó có thực sự phù hợp với dữ liệu hay không. Ví dụ, nếu ai đó đề nghị rằng có lẽ 50% người tóc dài là AX3, thì ngay từ đầu, không có gì rõ ràng rằng điều này thậm chí có thể được cung cấp cho tất cả các thông tin có sẵn. Các sơ đồ (Venn) của dân số và các nhóm nhỏ của nó làm cho những điều đó rõ ràng.

Đây là một câu hỏi về xác suất có điều kiện. Bạn biết rằng người đó có mái tóc dài và nhóm máu Ax3. Đặt A = { 'Người có mái tóc dài' } Vì vậy, bạn tìm kiếm P ( C | A và B ) . Bạn biết rằng P ( C | A ) = 0,9 và P ( C | B ) = 0,8 . Như vậy đã đủ để tính P ( C | A và B ) chưa? Giả sử P ( A và B và C. Sau đó

$$\ \ \ \ \ A =\{\text{'The person has long hair'}\}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B = \{\text{'The person has blood type Ax3'}\} \\ C =\{\text{'The person is female'}\}.$$
$P(C|A\ \text{and}\ B)$$P(C|A)=0.9$$P(C|B)=0.8$
$P(C|A\ \text{and}\ B)$$P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)=0.7$ Giả sử P ( A và B ) = 0,8 . Khi đó, bằng cách trên, P ( C | A và B ) = $$P(C|A\ \text{and}\ B)=P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)/ P(A\ \text{and}\ B)=0.7/P(A\ \text{and}\ B).$$ $P(A\ \text{and}\ B)=0.8$$P(C|A\ \text{and}\ B)=0.875$. Mặt khác, nếu thì chúng ta sẽ có P ( C | A và B ) = 0,78.$P(A\ \text{and}\ B)=0.9$$P(C|A\ \text{and}\ B)$

Bây giờ cả hai đều có thể khi và P ( C | B ) = 0,8 . Vì vậy, chúng ta không thể biết chắc P ( C | A và B ) là gì.$P(C|A)=0.9$$P(C|B)=0.8$$P(C|A\ \text{and}\ B)$

Thảo luận hấp dẫn! Tôi tự hỏi nếu chúng tôi chỉ định P (A) và P (B) cũng như liệu phạm vi của P (C | A, B) sẽ không hẹp hơn nhiều so với khoảng đầy đủ [0,1], đơn giản vì có nhiều ràng buộc chúng ta có.

Bám sát các ký hiệu được giới thiệu ở trên:

A = sự kiện người đó có mái tóc dài

B = sự kiện người đó có nhóm máu AX3

C = sự kiện người đó là nữ

P (C | A) = 0,9

P (C | B) = 0,8

P (C) = 0,5 (tức là giả sử tỷ lệ nam và nữ trong dân số lớn)

dường như không thể cho rằng các sự kiện A và B là độc lập có điều kiện với C! Đó là dẫn trực tiếp đến một mâu thuẫn: nếu $P(A \wedge B | C) = P(A| C) \cdot P(B| C) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)}$

sau đó

$P(C| A \wedge B ) = P(A \wedge B | C) \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)} \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right)$

$P(A \wedge B) = P(A) P(B)$

$P(C| A \wedge B ) = \frac{P(C| A) \cdot P(C| B)}{P(C)} = \frac{0.9 \cdot 0.8}{0.5} > 1$

Following up on whuber's wonderful geometric representation of the problem: While it is true that generally speaking $P(C | A \wedge B)$ can assume any value in the interval $[0,1]$ the geometric constraints do narrow the range of possible values significantly for values of $P(A)$ and $P(B)$ that are not "too small". (Though we can also upper bound the marginals: $P(A)$ and $P(B)$)

Let us compute the {\bf smallest possible value} for $P(C | A \wedge B)$ under the following geometric constraints:

1. The fraction of the upper area (A TRUE) covered by the upper rectangle must be equal to $P(C|A)=0.9$

2. The sum of the areas of the two rectangles must be equal to $P(C)=0.5$

3. The sum of the fraction of the areas of the two colored rectangles (i.e. their overlap with event B) must be equal to $P(C|B)=0.8$

4. (trivial) The upper rectangle cannot be moved beyond the left boundary and should not be moved beyond its minimum overlap to the left.

5. (trivial) The lower rectangle cannot be moved beyond the right boundary and should not be moved beyond its maximum overlap to the right.

These constraints limit how freely we can slide the hashed rectangles and in turn generate lower bounds for $P(C | A \wedge B)$. The figure below (created with this R script ) shows two examples

Running through a range of possible values for P(A) and P(B) (R script) generates this graph

In conclusion, we can lower bound the conditional probability P(c|A,B) for given P(A), P(B)

Make the hypotheses is that the person behind a curtain is a woman.

We area given 2 pieces of evidence, namely:

Evidence 1: We know the person has long hair (and we're told that 90% of all people with long hair are female)

Evidence 2: We know the person has a rare blood type AX3 (and we're told that 80% of all people with this blood type are female)

Given just Evidence 1, we can state that the person behind a curtain has a 0.9 probability value of being a woman (assuming 50:50 split between men and women).

Regarding the question posed earlier in the thread, namely "Would you agree that the answer must be GREATER than 0.9?", without doing any Math, I would say intuitively, the answer must be "yes" (it is GREATER than 0.9). The logic is that Evidence 2 is supporting evidence (again, assuming a 50:50 split for the number of men and women in the world). If we were told that 50% of all people with AX3 type blood were female, then Evidence 2 would be neutral and have no bearing. But since we're told that 80% of all people with this blood type are female, Evidence 2 is supporting evidence and logically should push the final probability of a woman above 0.9.

To calculate a specific probability, we can apply Bayes' rule for Evidence 1 and then use Bayesian updating to apply Evidence 2 to the new hypothesis.

Suppose:

A = the event that the person has long hair

B = the event that the person has blood type AX3

C = the event that person is female (assume 50%)

Applying Bayes rule to Evidence 1:

P(C|A) = (P(A|C) * P(C)) / P(A)

In this case, again if we assume 50:50 split between men and women:

P(A) = (0.5 * 0.9) + (0.5 * 0.1) = 0.5

So, P(C|A) = (0.9 * 0.5) / 0.5 = 0.9 (Not surprising, but it would be different if we didn't have 50:50 split between men and women)

Using Bayesian updating to apply Evidence 2 and plugging in 0.9 as the new prior probability, we have:

P(C|A AND B) = (P(B|C) * 0.9) / P(E)

Here, P(E) is the probability of Evidence 2, given the hypotheses that the person already has a 90% chance of being female.

P(E) = (0.9 * 0.8) + (0.1 * 0.2) [this is law of total probability: (P(woman)*P(AX3|woman) + P(man)*P(AX3|man)] So, P(E) = 0.74

So, P(C|A AND B) = (0.8 * 0.9) / 0.74 = 0.97297

Question Restatement and Generalisation

$A$, $B$, and $C$ are binary unknowns whose possible values are $0$ and $1$. Let $Z_i$ stand for the proposition, "The value of $Z$ is $i$". Also let $(X | Y)$ stand for "The probability that $X$, given that $Y$". What is $(A_a | B_b C_c I)$, given that

1. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ and $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$
2. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ and $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ and $(B C | I) = (B | I)(C | I)$
3. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ and $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ and $(A_0 | I) = \frac{1}{2}$
4. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ and $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ and $(A_0 | I) = \frac{1}{2}$ and $(B C | I) = (B | I)(C | I)$

and that $I$ contains no relevant information besides what is implicit in the assignments? The last conjunct of conditions 2 and 4 is shorthand for the independence statement

$$(B_j C_k | I) = (B_j | I)(C_k | I) \quad , \quad j = 0, 1 \quad k = 0,1$$ Treat each of the four cases in turn.

Answers

Case 1

We have to specify the distribution $(ABC | I)$. The problem is underdetermined, because $(ABC | I)$ requires eight numbers, but we have only three equations---the two given conditions and the normalisation condition.

It has been shown by various esoteric means that the distribution to assign when the information doesn't otherwise determine a solution is the one that, of all distributions consistent with the known information, has the greatest entropy. Any other distribution implies that we know more than the known information, which of course is a contradiction.

All we need to do, therefore, is assign the maximum entropy distribution. This is more easily said than done, and I have not found a general closed-form solution. But particular solutions can be found using a numerical optimiser. We maximise

$$- \sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) \ln (A_i B_j C_k | I)$$ subject to the constraints $$\sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) = 1$$ and $$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_k (A_{a_1} B_{b_1} C_k | I )}{\sum\limits_{i,k} (A_i B_{b_1} C_k | I)} = u_1$$ and $$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_j (A_{a_2} B_j C_{c_2} | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_{c_2} | I)} = u_2$$ Now let's apply this to the question. If we have

1. "The person is female" $\longleftrightarrow A_1$
2. "The person has long hair" $\longleftrightarrow B_1$
3. "The person has blood type AX3" $\longleftrightarrow C_1$

then $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, $a_1 = 1$, $b_1 = 1$, $a_2 = 1$, $c_2 = 1$, $u_1 = 0.9$, $u_2 = 0.8$, and we find that for the maximum entropy solution, $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.932$. Therefore the probability that the person behind the curtain is female, given that he/she has long hair and blood type AX3, is 0.932.

Case 2

Now we repeat the exercise with the extra constraint that for a given person, knowing the value of $B$ (the hair state) does not affect our estimate of the value of $C$ (the blood type state), and vice versa. Everything is the same as in Case 1, except there are two extra constraints in the optimisation, namely:

$$\begin{align*} (B_0 | C_l I) &= (B_0 | I) \quad , \quad l = 0, 1 \\ \end{align*}$$ i.e. $$\begin{align*} \frac{\sum\limits_i (A_i B_0 C_l | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_l | I)} &= \sum_{i,k} (A_i B_0 C_k | I) \quad , \quad l = 0, 1 \end{align*}$$ This gives $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.936$, so the probability that the person behind the curtain is female, given that he/she has long hair and blood type AX3, is 0.936.

Case 3

Now we remove the independence condition and replace it with the prior condition that there is an equal chance that a given person is male or female:

$$(A_0 | I) = \frac{1}{2} \quad \quad \text{i.e.} \quad \sum_{j,k} (A_0 B_j C_k | I) = \frac{1}{2}$$ This time $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.973$, so the probability that the person behind the curtain is female, given that he/she has long hair and blood type AX3, is 0.973.

Case 4

Finally we reintroduce the independence constraints of Case 2, and find that $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.989$. Therefore the probability that the person behind the curtain is female, given that he/she has long hair and blood type AX3, is 0.989.

I believe now that, if we assume a ratio of men and women in the population at large, then there is a single indisputable answer.

A = the event that the person has long hair

B = the event that the person has blood type AX3

C = the event that person is female

P(C|A) = 0.9

P(C|B) = 0.8

P(C) = 0.5 (i.e. let's assume an equal ratio of men and women in the population at large)

Then P(C|A and B) = [P(C|A) x P(C|B) / P(C)] / [[P(C|A) x P(C|B) / P(C)] + [[1-P(C|A)] x [1-P(C|B)] / [1-P(C)]]]

in this case, P(C|A and B) = 0.972973

Note: In order to get a definitive answer, the below answers assume that the probability of a person, a long-haired man, and a long-haired women having AX3 are approximately the same. If more accuracy is desired, this should be verified.

You start out with the knowledge that the person has long hair, so at this point the odds are:

90:10

Note: The ratio of males to females in the general population does not matter to us once we find out the person has long hair. For example, if there were 1 female in a hundred in the general population, a randomly-selected long-haired person would still be a female 90% of the time. The ratio of females to males DOES matter! (see the update below for details)

Next, we learn that the person has AX3. Because AX3 is unrelated to long hair, the ratio of men to women is known to be 50:50, and because of our assumption of the probabilities being the same, we can simply multiply each side of the probability and normalize so that the sum of the sides of the probability equals 100:

(90:10) * (80:20)
==> 7200:200

    Normalize by dividing each side by (7200+200)/100 = 74

==> 7200/74:200/74
==> 97.297.. : 2.702..

Thus, the chance that the person behind the curtain is female is approximately 97.297%.

UPDATE

Here's a further exploration of the problem:

Definitions:

f - number of females
m - number of males
fl - number of females with long hair
ml - number of males with long hair
fx - number of females with AX3
mx - number of males with AX3
flx - number of females with long hair and AX3
mlx - number of males with long hair and AX3
pfl - probability that a female has long hair
pml - probability that a male has long hair
pfx - probability that a female has AX3
pmx - probability that a male has AX3

First, we are given that 90% of long-haired people are females, and 80% of people with AX3 are female, so:

fl = 9 * ml
pfl = fl / f
pml = ml / m 
    = fl / (9 * m)

fx = 4 * mx
pfx = fx / f
pmx = mx / m 
    = fx / (4 * m)

Because we assumed that the probability of AX3 is independent of gender and long hair, our calculated pfx will apply to women with long hair, and pmx will apply to men with long-hair to find the number of them that likely have AX3:

flx = fl * pfx 
    = fl * (fx / f) 
    = (fl * fx) / f
mlx = ml * pmx 
    = (fl / 9) * (fx / (4 * m)) 
    = (fl * fx) / (36 * m)

Thus, the likely ratio of the number of females with long-hair and AX3 to the number of males with long-hair and AX3 is:

flx             :   mlx
(fl * fx) / f   :   (fl * fx) / (36 * m)
1/f             :   1 / (36m)
36m             :   f

Because it is given that there is an equal number of 50:50, you can cancel both sides and end with 36 females to every male. Otherwise, there are 36*m/f females for every male in the specified subgroup. For example, if there were twice as many women as men, there would be 72 females to each male of those that have long-hair and AX3.

98% Female, simple interpolation. First premise 90% female, leaves 10%, second premise only leaves 2% of the existing 10%, hence 98% female