Phân phối vô điều kiện quy trình ARMA với lỗi t-student

Trong mô hình , khi các lỗi có phân phối Bình thường, phân phối vô điều kiện của là Bình thường. Khi các lỗi có phân phối t-student với độ tự do. Phân phối vô điều kiện của gì? $Y_t\sim ARMA(p,q)$ $Y_t$ $\nu$ $Y_t$

Vì vậy, trong đó .

Y_{t} = = φ_{1} Y_{t - 1} + \dots + φ_{p} Y_{t - p} + e_{t} - θ_{1} e_{t - 1} - \dots - θ_{q} e_{t - q}

$Y_t=\phi_1Y_{t-1}+\dots+\phi_pY_{t-p}+e_t-\theta_1e_{t-1}-\dots-\theta_q e_{t-q}$

e_{t} \sim t_{ν}

$e_t\sim t_\nu$

Tôi không biết làm thế nào để tìm ra sự phân phối của nó và những cuốn sách mà tôi chủ yếu chỉ đề cập đến trường hợp có lỗi Gaussian.

Một số tài liệu tham khảo cũng sẽ thú vị.

Tôi đang suy nghĩ theo dòng sau. Nếu ARMA (p, q) của bạn không thể đảo ngược, bạn có thể đảo ngược nó thành MA (vô cực) theo định lý phân rã của Wold. Bây giờ bạn đang nhìn vào tổng số vô hạn của Student-t. Theo jstor.org/urdy/2286298?seq=1#page_scan_tab_contents , nếu mức độ tự do là kết quả số lẻ là một hỗn hợp của các biến sinh viên.

— Cagdas Ozgenc

Mô hình ARMA nằm trong lớp chung của các mô hình tuyến tính trong đó vectơ quan sát được của bạn là một hàm tuyến tính của một vectơ cơ bản của các thuật ngữ lỗi IID. Xem xét hình thức mô hình tuyến tính chung với các lỗi IID sau phân phối T:

Y_{t} = = Σ_{k = = 0}^{\infty} {Một}_{k} ε_{t - k} ε_{k} ~ Sinh viên IID (df = = ν) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty A_k \varepsilon_{t-k} \quad \quad \quad \varepsilon_k \sim \text{IID Student T}(\text{df} = \nu). \quad \quad \quad \quad$

Một trong những tính chất hữu ích của phân phối T của Học sinh là nó có thể được viết dưới dạng hỗn hợp thông thường với tham số chính xác phân phối gamma . Với biểu diễn này, mẫu mô hình trên có thể được viết tương đương như sau:

Y_{t} = = Σ_{k = = 0}^{\infty} \frac{{Một}_{k} ε_{t - k}}{\sqrt{λ_{k}}} ε_{k} ~ IID N (0, 1) λ_{k} ~ Gamma (\frac{ν}{2}, \frac{ν}{2}) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty \frac{A_k \epsilon_{t-k}}{\sqrt{\lambda_k}} \quad \quad \quad \epsilon_k \sim \text{IID N}(0, 1) \quad \lambda_k \sim \text{Gamma}(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{\nu}{2}).$

Bạn có thể thấy từ giá trị này rằng giá trị là tổng các thuật ngữ độc lập, mỗi tỷ lệ của các biến ngẫu nhiên bình thường và biến ngẫu nhiên gamma (đưa ra các biến ngẫu nhiên T được chia tỷ lệ). Sự khác biệt giữa mô hình hiện tại và mô hình tuyến tính Gaussian tiêu chuẩn là sự hiện diện của các thuật ngữ mẫu số trong tổng. (Trong trường hợp Gaussian tiêu chuẩn, chúng tôi đã sửa .) $Y_t$ $\lambda = \lambda_k$

Phân phối cho đại lượng này là một tích chập phức tạp, nhưng CLT đảm bảo rằng nó hội tụ về tính quy tắc trong các điều kiện nhẹ. Có thể mô phỏng phân phối bằng cách áp dụng các mẫu số gốc gamma ngẫu nhiên cho các thuật ngữ tổng, điều này mang lại một chút thay đổi cho đại lượng hơn so với xảy ra trong mô hình tuyến tính Gaussian tiêu chuẩn.

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn