Một số ứng dụng minh họa của khả năng thực nghiệm là gì?

Tôi đã nghe nói về khả năng theo kinh nghiệm của Owen, nhưng cho đến gần đây, nó không được chú ý cho đến khi tôi bắt gặp nó trong một bài báo quan tâm ( Mengersen et al. 2012 ).

Trong những nỗ lực của tôi để hiểu nó, tôi đã lượm lặt rằng khả năng xảy ra các dữ liệu quan sát được biểu diễn dưới dạng , trong đó và .

L = \prod_{i} p_{i} = \prod_{i} P (X_{i} = x) = \prod_{i} P (X_{i} \leq x) - P (X_{i} < x)

$L = \prod_i p_i = \prod_i P(X_i=x) = \prod_i P(X_i \le x) - P(X_i \lt x)$

\sum_{i} p_{i} = 1

$\sum_i p_i = 1$

p_{i} > 0

$p_i > 0$

Tuy nhiên, tôi đã không thể thực hiện bước nhảy vọt tinh thần kết nối đại diện này với cách nó có thể được sử dụng để suy luận về các quan sát. Có lẽ tôi đã quá sâu sắc khi nghĩ đến khả năng các tham số wrt của một mô hình?

Bất kể, tôi đã tìm kiếm Google Scholar cho một số bài viết sử dụng khả năng theo kinh nghiệm sẽ giúp tôi tiếp thu khái niệm này ... không có kết quả. Rõ ràng, có cuốn sách của Art Owen về Khả năng sống theo kinh nghiệm , nhưng Google Sách bỏ đi tất cả các bitcoin và tôi vẫn đang trong quá trình chậm để nhận được một khoản vay liên thư viện.

Trong khi đó, ai đó có thể vui lòng chỉ cho tôi các giấy tờ và tài liệu minh họa rõ ràng tiền đề của khả năng thực nghiệm và cách sử dụng nó không? Một mô tả minh họa về chính EL cũng sẽ được hoan nghênh!

— Tương tự
nguồn

Kinh tế học, đặc biệt, đã yêu EL. Nếu bạn đang tìm kiếm các ứng dụng , tài liệu đó có thể là một trong những nơi tốt hơn để tìm kiếm.

— Đức hồng y

Câu trả lời:

Tôi có thể nghĩ rằng không có nơi nào tốt hơn cuốn sách của Owen để tìm hiểu về khả năng thực nghiệm.

$L = L(p_1, \ldots, p_n)$ $x_1, \ldots, x_n$ $(p_1, \ldots, p_n)$ $n$ $1/n$ trên mỗi quan sát (giả sử chúng đều khác nhau). Kích thước của không gian tham số tăng theo số lượng quan sát.

$\mu$ $p = (p_1, \ldots, p_n)$

μ (p) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i},

$\mu(p) = \sum_{i=1}^n x_i p_i,$

L_{prof} (μ) = max {L (p) ∣ μ (p) = μ} .

$L_{\text{prof}}(\mu) = \max \{ L(p) \mid \mu(p) = \mu \}.$ Sau đó, chúng ta có thể tính khoảng tin cậy của biểu mẫu với . Ở đây là trung bình theo kinh nghiệm và . Các khoảng có lẽ chỉ nên được gọi là các khoảng khả năng (hồ sơ) vì không có tuyên bố nào về phạm vi bảo hiểm được đưa ra trước. Với việc giảm các khoảng (vâng, chúng là các khoảng) tạo thành một nhóm các khoảng tin cậy lồng nhau, tăng dần. Lý thuyết tiệm cận hoặc bootstrap có thể được sử dụng để hiệu chỉnh để đạt được phạm vi bao phủ 95%, nói.

I_{r} = {μ ∣ L_{prof} (μ) \geq r L_{prof} (\bar{x})}

$I_r = \{ \mu \mid L_{\text{prof}}(\mu) \geq r L_{\text{prof}}(\bar{x}) \}$

r \in (0, 1)

$r \in (0,1)$

\bar{x}

$\bar{x}$

L_{prof} (\bar{x}) = n^{- n}

$L_{\text{prof}}(\bar{x}) = n^{-n}$

I_{r}

$I_r$

r

$r$

I_{r}

$I_r$

r

$r$

Cuốn sách của Owen bao gồm chi tiết này và cung cấp các phần mở rộng cho các vấn đề thống kê phức tạp hơn và các thông số quan tâm khác.

— NRH
nguồn

(+1) Thiếu quyền truy cập vào cuốn sách, người ta luôn có thể bắt đầu với các bài viết gốc để có được những điều cơ bản của lý thuyết. Giống như cuốn sách, các giấy tờ cũng được viết khá rõ ràng.

— Đức hồng y

Một số liên kết: ( 1 ) A. Owen (1988), Khoảng tin cậy tỷ lệ khả năng theo kinh nghiệm cho một chức năng duy nhất , Biometrika , vol. 75, Số 2, trang 237-249, ( 2 ) A. Owen (1990), Vùng tin cậy tỷ lệ khả năng theo kinh nghiệm , Ann. Thống kê. , tập 18, không 1, trang 90-120 ( truy cập mở ) và ( 3 ) A. Owen (1991) Khả năng thực nghiệm cho các mô hình tuyến tính , Ann. Thống kê. , tập 19, không. 4, trang 1725-1747 ( truy cập mở ).

— Đức hồng y

@cardinal Tuyệt vời! Nên đã nghĩ về điều đó bản thân mình.

— Sameer

@NHS Cảm ơn bạn đã giải thích! Chỉ cần được rõ ràng, là các wrt 's? Ngoài ra, bạn có thể giải thích tại sao không? Có lẽ nên là ?

L_{p r o f} (μ)

$L_{prof}(\mu)$

a r g m a x

$argmax$

p

$p$

L_{p r o f} (\bar{x}) = n^{n}

$L_{prof}(\bar{x})=n^n$

\prod_{i} n^{- 1} = n^{- n}

$\prod_i n^{-1} = n^{-n}$

— Sameer

@Sameer, lỗi đánh máy bây giờ đã được sửa. Tuy nhiên, nó không phải là argmax. Đó là khả năng hồ sơ thu được bằng cách tối đa hóa khả năng trên tất cả các vectơ tham số với giá trị đã cho là . Btw với quyền truy cập đại học phù hợp Tôi đã có được một phiên bản điện tử từ CRC của các chương riêng lẻ trong cuốn sách của Owen.

μ

$\mu$

— NRH

Trong kinh tế lượng, nhiều bài báo được áp dụng bắt đầu với giả định rằng trong đó là một vectơ dữ liệu, là một hệ phương trình và là một tham số chưa biết, . Hàm xuất phát từ một mô hình kinh tế. Mục tiêu là ước tính .

E [g (X, θ)] = 0

$E[g(X,\theta)] = 0$

X

$X$

g

$g$

q

$q$

θ \in Θ \subseteq R^{p}

$\theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}^p$

q \geq p

$q \geq p$

g

$g$

θ

$\theta$

Cách tiếp cận truyền thống, theo kinh tế lượng, để ước tính và suy luận về là sử dụng phương pháp tổng quát về các khoảnh khắc: trong đó là ma trận trọng số xác định dương và Khả năng thực nghiệm cung cấp một công cụ ước tính thay thế cho GMM. Ý tưởng là để thực thi điều kiện thời điểm như là một hạn chế khi tối đa hóa khả năng không theo tỷ lệ. Đầu tiên, sửa một . Sau đó giải phải tuân theo $\theta$

{\hat{θ}}_{GMM} = {argmin}_{θ \in Θ} {\bar{g}}_{n} (θ)^{'} W {\bar{g}}_{n} (θ)

$\hat{\theta}_\text{GMM} = \text{argmin}_{\theta \in \Theta} \; \bar{g}_n(\theta) 'W \bar{g}_n(\theta)$

W

$W$

{\bar{g}}_{n} (θ) := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} g (X_{i}, θ) .

$\bar{g}_n(\theta) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(X_i,\theta).$

θ

$\theta$

L (θ) = max_{p_{1}, \dots, p_{n}} \prod_{i = 1}^{n} p_{i}

$L(\theta) = \max_{p_1,\ldots,p_n} \; \prod_{i=1}^n p_i$

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1, p_{i} \geq 0, \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \cdot g (X_{i}, θ) = 0.

$\sum_{i=1}^n p_i=1, \qquad p_i \geq 0, \qquad \sum_{i=1}^n p_i \cdot g(X_i,\theta) = 0.$ Đây là vòng lặp `bên trong '. Sau đó tối đa hóa hơn : Cách tiếp cận này đã được chứng minh là có các thuộc tính bậc cao tốt hơn GMM (xem Newey và Smith 2004, Kinh tế lượng ), đó là một lý do tại sao nó thích hợp hơn GMM. Để tham khảo thêm, xem các ghi chú và bài giảng của Imbens và Wooldridge tại đây (bài 15).

θ

$\theta$

{\hat{θ}}_{EL} = {argmax}_{θ \in Θ} \log L (θ) .

$\hat{\theta}_\text{EL} = \text{argmax}_{\theta \in \Theta} \; \log L(\theta).$

Tất nhiên có nhiều lý do khác khiến EL thu hút được sự chú ý trong kinh tế lượng, nhưng tôi hy vọng đây là nơi khởi đầu hữu ích. Các mô hình bình đẳng thời điểm rất phổ biến trong kinh tế học thực nghiệm.

— Aelmore
nguồn

Cảm ơn bạn đã viết một câu trả lời rõ ràng, tham khảo tốt. Chào mừng đến với cộng đồng của chúng tôi!

— whuber

Trong phân tích sinh tồn, đường cong Kaplan - Meier là công cụ ước lượng không tham số nổi tiếng nhất của hàm tồn tại , trong đó biểu thị biến ngẫu nhiên theo thời gian. Về cơ bản, là một khái quát của hàm phân phối theo kinh nghiệm cho phép kiểm duyệt. Nó có thể được bắt nguồn theo kinh nghiệm, như được đưa ra trong hầu hết các sách giáo khoa thực tế. Nhưng nó cũng có thể được chính thức dẫn xuất như một công cụ ước tính khả năng tối đa (theo kinh nghiệm). Dưới đây là chi tiết hơn . $S(t) = Pr(T > t)$ $T$ $\hat{S}$

— bát giác
nguồn