Làm thế nào để ước tính độ chính xác của tích phân?

Một tình huống cực kỳ phổ biến trong đồ họa máy tính là màu của một số pixel bằng với tích phân của một số chức năng có giá trị thực. Thường thì hàm quá phức tạp để giải quyết một cách phân tích, vì vậy chúng ta còn lại với xấp xỉ bằng số. Nhưng hàm cũng thường rất tốn kém để tính toán, vì vậy chúng tôi bị hạn chế rất nhiều về số lượng mẫu chúng tôi có thể tính toán. (Ví dụ: bạn không thể quyết định lấy một triệu mẫu và để lại ở đây.)

Nói chung, những gì bạn muốn làm là đánh giá hàm tại các điểm được chọn ngẫu nhiên cho đến khi tích phân ước tính trở nên "đủ chính xác". Điều này đưa tôi đến câu hỏi thực tế của tôi: Làm thế nào để bạn ước tính "độ chính xác" của tích phân?

Cụ thể hơn, chúng ta có , được thực hiện bởi một số thuật toán máy tính phức tạp, chậm. Chúng tôi muốn ước tính$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Chúng ta có thể tính cho bất kỳ nào chúng ta muốn, nhưng nó đắt tiền. Vì vậy, chúng tôi muốn chọn một vài giá trị một cách ngẫu nhiên và dừng lại khi ước tính cho trở nên chính xác chấp nhận được. Để làm điều này, tất nhiên, chúng ta cần biết ước tính hiện tại thực sự chính xác đến mức nào.$f(x)$$x$$x$$k$

Tôi thậm chí không chắc công cụ thống kê nào sẽ phù hợp với loại vấn đề này. Nhưng đối với tôi, nếu chúng ta hoàn toàn không biết gì về , thì vấn đề là không thể giải quyết được. Ví dụ: nếu bạn tính một nghìn lần và nó luôn bằng 0, tích phân ước tính của bạn sẽ bằng không. Nhưng, không biết gì về , vẫn có thể ở mọi nơi ngoại trừ các điểm bạn đã lấy mẫu, vì vậy ước tính của bạn là sai lầm khủng khiếp!$f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

Có lẽ, sau đó, câu hỏi của tôi nên bắt đầu với "chúng ta cần biết gì về để có thể ước tính độ chính xác của tích phân$f$ ?" Ví dụ, chúng ta thường biết rằng không thể nào là âm, điều này dường như là một thực tế có liên quan cao ...$f$

Chỉnh sửa: OK, vì vậy điều này dường như đã tạo ra nhiều phản hồi, điều này là tốt. Thay vì trả lời riêng từng người trong số họ, tôi sẽ cố gắng điền vào một số nền tảng bổ sung ở đây.

Khi tôi nói chúng ta biết "không có gì" về , ý tôi là chúng ta có thể tính được , nhưng chúng ta không biết gì thêm về nó. Tôi mong đợi (và các ý kiến ​​dường như đồng ý) rằng có nhiều kiến ​​thức hơn cho phép chúng tôi sử dụng các thuật toán tốt hơn. Có vẻ như việc biết giới hạn trên và / hoặc đạo hàm đầu tiên của sẽ hữu ích.$f$$f$$f$$f$

Trong hầu hết các vấn đề tôi nghĩ đến, thay đổi tùy thuộc vào hình dạng cảnh và vị trí trong cảnh đang xem xét. Đó không phải là một số đại số tốt đẹp, gọn gàng mà bạn có thể phân tích giải quyết. Thông thường đại diện cho cường độ ánh sáng. Rõ ràng cường độ ánh sáng không bao giờ có thể âm, nhưng không có giới hạn về giá trị dương của nó có thể lớn đến mức nào. Và cuối cùng, các cạnh đối tượng thường dẫn đến sự gián đoạn đột ngột trong và thông thường bạn không thể dự đoán những vị trí này ở đâu.$f$$f$$f$

Nói tóm lại, rất tệ, vì vậy, cuộc gọi đầu tiên của tôi là hỏi chúng ta có thể làm gì với nó mà không có thêm thông tin nào. Có vẻ như không có ít nhất một số giới hạn trên và dưới, câu trả lời là "không phải là địa ngục của nhiều" ... Vì vậy, có vẻ như tôi cần bắt đầu đưa ra một số giả định để thực hiện bất kỳ bước tiến nào ở đây.$f$

Ngoài ra, với số lần "Monte Carlo" xuất hiện, tôi đoán đó có phải là thuật ngữ kỹ thuật cho loại tích hợp này không?

Để đơn giản, giả sử f (x)> = 0 với mọi x trong [a, b] và chúng ta biết M sao cho f (x) <M với mọi x trong [a, b]. Tích phân I của f trên [a, b] có thể được đặt trong hình chữ nhật có chiều rộng ba và chiều cao M. Tích phân của f là tỷ lệ của hình chữ nhật nằm dưới hàm f nhân với M (ba). Bây giờ nếu bạn chọn các điểm trong hình chữ nhật một cách ngẫu nhiên và tính điểm đó là một thành công nếu nó rơi xuống dưới đường cong và là một thất bại nếu không bạn đã thiết lập một thử nghiệm Bernoulli. Phần mẫu của các điểm bên trong là tỷ lệ nhị thức và do đó có p và phương sai p (1-p) / n có nghĩa là n là số điểm được lấy. Do đó, bạn có thể xây dựng khoảng tin cậy cho p và vì I = p M (ba) khoảng tin cậy cho I cũng vì ước tính I ^ = p ^ M (ba), Var (I ^) = M (ba)$^2$$^2$p (1-p) / n. Vì vậy, để sử dụng số liệu thống kê để xác định n nhỏ nhất mà tích phân đủ chính xác, bạn có thể chỉ định giới hạn S trên phương sai của I ^. Lưu ý p (1-p) / n <= 1 / (4n) với mọi 0 <= p <= 1. Vì vậy, đặt S = M (ba) / (4n) hoặc n = số nguyên nhỏ nhất> M (ba) / (4S).$^2$$^2$$^2$$^2$

Đây là một câu hỏi không tầm thường liên quan đến các vấn đề như tổng biến thể của và các phần mở rộng đa biến hợp lý của nó. Nhà thống kê nghệ thuật Stanford Owen đã làm việc về điều này bằng cách sử dụng các kỹ thuật bán ngẫu nhiên Monte Carlo . Monte Carlo thông thường cho phép ước tính trực tiếp độ chính xác của tích phân, nhưng mỗi đánh giá riêng lẻ không chính xác. Quasi-Monte Carlo tạo ra các ước tính chính xác hơn, nhưng đó là một kỹ thuật hoàn toàn xác định và do đó không cho phép ước tính phương sai của kết quả của bạn. Anh ấy đã chỉ ra cách kết hợp hai cách tiếp cận và bài báo của anh ấy rất sáng suốt, vì vậy tôi sẽ không thử sao chép nó ở đây.$f$

Một bài đọc bổ sung cho điều này tất nhiên sẽ là chuyên khảo của Niederreiter (1992) .