Cao hơn,

Vì vậy, tôi đã có một bài kiểm tra xác suất và tôi thực sự không thể trả lời câu hỏi này. Nó chỉ hỏi một cái gì đó như thế này:

$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Điều duy nhất tôi có thể nghĩ là Bất bình đẳng của Jensen, nhưng tôi thực sự không biết làm thế nào để áp dụng nó ở đây.

Điều này thực sự có thể được chứng minh bởi bất bình đẳng Jensen.

Gợi ý : Lưu ý rằng với , hàm là lồi trong (Đó là nơi bạn sử dụng giả định ). Sau đó, bất đẳng thức Jensen cho và với , đó là cách khác arround.$\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Bây giờ, chuyển đổi các biến thành một cái gì đó có thể so sánh và tìm có liên quan .$\alpha$

Bất bình đẳng của Lyapunov (Xem: Casella và Berger, Suy luận thống kê 4.7.6):

Dành cho : $1 < r < s < \infty$

Bằng chứng :

Do bất đẳng thức của Jensens đối với lồi :$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Hãy xem xét , sau đó trong đó$\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Thay thế :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Nói chung cho điều này ngụ ý:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Giả sử X có phân phối đồng đều trên [0,1] thì E (X ) = và do đó E (X ) = và E ( X ) = nên E (X ) = . Vì vậy, trong trường hợp này E (X ) > E (X ) . Bạn có thể khái quát điều này hoặc tìm một ví dụ mẫu?$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$