Hiển thị là độc lập nếu và khi

Đặt là các biến ngẫu nhiên độc lập. $X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1$

Xác định và . Sau đó cho thấy được phân phối độc lập. $Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$ $Z_1,Z_2,...,Z_{n+1}$

Mật độ chung của được cho bởi $(X_1,...,X_{n+1})$

f_{X} (x_{1}, . . ., x_{n + 1}) = [\frac{α^{\sum_{i = 1}^{n + 1} p_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n + 1} Γ (p_{i})} \exp (- α \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}) \prod_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{p_{i} - 1}] I_{x_{i} > 0}, α > 0, p_{i} > 0

$f_{\bf X}(x_1,...,x_{n+1})=\left[\frac{\alpha^{\sum_{i=1}^{n+1}p_i}}{\prod_{i=1}^{n+1}\Gamma(p_i)}\exp\left(-\alpha\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)\prod_{i=1}^{n+1}x_i^{p_i-1}\right]\mathbf I_{x_i>0}\quad,\alpha>0,p_i>0$

Chúng tôi biến đổi sao cho $\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1})$

$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ và $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$

$\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1},$

$\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}),$

$\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}),$

$\qquad\vdots$

$\qquad x_3=z_1z_3\prod_{j=4}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_2=z_1z_2\prod_{j=3}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_1=z_1\prod_{j=2}^{n+1}(1-z_j)$ , trong đó và $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

Jacobian của phép biến đổi là $J=\dfrac{\partial(x_1,...,x_{n+1})}{\partial(z_1,...,z_{n+1})}=\det\begin{pmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_1}{\partial z_{n+1}} \\ &\ddots\\\frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_{n+1}}\\\end{pmatrix}$

Thực hiện thao tác , chúng tôi lấy là yếu tố quyết định của $R_1'=\sum_1^{n+1}R_i$ $J$

$\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\z_2\prod_3^{n+1}(1-z_j)& z_1\prod_3^{n+1}(1-z_j) \\ z_3\prod_4^{n+1}(1-z_j)&0& z_1\prod_4^{n+1}(1-z_j)\\&&&\ddots\\z_n(1-z_{n+1})&0&0&\cdots&z_1(1-z_{n+1})& -z_1z_n \\z_{n+1}&0&0 &\cdots&0& z_1\\\end{pmatrix}$

bằng . $z_1^n(1-z_3)(1-z_4)^2...(1-z_n)^{n-2}(1-z_{n+1})^{n-1}$

Sau khi đơn giản hóa, chúng ta có được mật độ khớp của là $\bf Z$

$f_{\bf Z}(z_1,...,z_{n+1})=\prod_{i=1}^{n+1}f_{Z_i}(z_i)$

trong đó $Z_1\sim \text{Gamma}(\alpha,\sum_1^{n+1}p_i),$

$\qquad Z_2\sim \text{Beta}_1(p_1,p_2),$

$\qquad Z_3\sim \text{Beta}_1(p_3,p_1+p_2),$

$\qquad \vdots$

$\qquad Z_{n+1}\sim \text{Beta}_1(p_{n+1},\sum_1^np_i)$ ,

với và , $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

$\alpha>0$ và với . $p_i>0$ $i=1,2,...,n+1$

Không cần phải nói, việc tìm các giải pháp nghịch đảo và đánh giá Jacobian là rất khó khăn và tốn thời gian. Bên cạnh việc hoàn thành công việc, nó cũng xác định các bản phân phối của . $x_i$ $Z_i$

Có cách nào đơn giản hơn để chỉ cho thấy sự độc lập của không? $Z_i$

— Bướng bỉnh
nguồn

Ý tôi là trong rhs của .

. . . (1 - z_{n + 1})

$...(1-z_{n+1})$

x_{n - 1}

$x_{n-1}$

— StubbornAtom

Cách duy nhất tôi có thể nghĩ đến để đơn giản hóa việc này là sử dụng cảm ứng, tức là bắt đầu với trường hợp n = 1 và tìm và là độc lập, sau đó sử dụng tính độc lập của với ( ) để thêm vào Từng người một khi cần thiết.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

X_{i}

$X_i$

Z_{j}

$Z_j$

j < i

$j<i$

X_{i}

$X_i$

— aleshing

Liên quan đến phân phối Dirichlet .

— StubbornAtom

Tôi sẽ chứng minh tuyên bố tương đương.

Đặt , , , là độc lập. Biểu thị , ; , . Khi đó , , , và là độc lập và . $n\ge 1$ $X_k\sim \Gamma(\alpha,p_k)$ $k=1,\dots,n+1$ $S_k = X_1+\dots+X_k$ $k=1,\dots,n+1$ $R_k = \frac{S_k}{S_{k+1}}$ $k=1,\dots,n$ $R_1$ $R_2$ $\dots$ $R_{n}$ $S_{n+1}$ $S_{n+1}\sim \Gamma(\alpha,p_1+\dots + p_{n+1})$

Ghi chú Trong ký hiệu OP, , , . $Z_1=S_{n+1}$ $Z_k = 1 - R_{k-1}$ $k=2,\dots,n+1$

Bằng chứng . là dễ dàng (và nổi tiếng). $n=1$

$n-1\Rightarrow n$ .

Theo giả thuyết cảm ứng và tính độc lập, các vectơ và là độc lập. Do đó, các vectơ và là độc lập. Cả hai vectơ đều có các thành phần độc lập: theo giả thuyết cảm ứng, theo cơ sở cảm ứng. Do đó, các thành phần của chúng là các biến ngẫu nhiên độc lập. $\mathbf{R} = (R_1,\dots,R_{n-1})$ $(S_{n},X_{n+1})$ $\mathbf{R}$ $\big(\frac{S_{n}}{S_{n}+X_{n+1}},S_{n}+X_{n+1}\big) = (R_n,S_{n+1})$ $\mathbf R$ $(R_n,S_{n+1})$

Không có vấn đề gì khi đưa phân phối vào tuyên bố, bằng chứng sẽ không thay đổi. Phân phối của đã có sẵn: Tôi cần nó để nói rằng tính độc lập của và phát từ cơ sở cảm ứng. $R_n$ $S_n$ $R_n$ $S_{n+1}$

— ngựa vằn
nguồn