Có thể hai Biến ngẫu nhiên từ cùng một gia đình phân phối có cùng kỳ vọng và phương sai, nhưng thời điểm cao hơn khác nhau không?

Tôi đã suy nghĩ về ý nghĩa của gia đình quy mô địa điểm. Theo tôi hiểu rằng đối với mỗi thành viên của một gia đình quy mô vị trí với các thông số địa điểm và quy mô, sau đó sự phân bố của không phụ thuộc của bất kỳ thông số và nó là như nhau đối với mỗi thuộc gia đình đó.$X$$a$$b$$Z =(X-a)/b$$X$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là bạn có thể cung cấp một ví dụ trong đó hai ngẫu nhiên từ cùng một họ phân phối được tiêu chuẩn hóa nhưng điều đó không dẫn đến Biến ngẫu nhiên có cùng phân phối không?

Nói và đến từ cùng một gia đình phân phối (trong đó với gia đình tôi có nghĩa là cả Bình thường hoặc cả Gamma, v.v.). Định nghĩa:$X$$Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

chúng tôi biết rằng cả và đều có cùng kỳ vọng và phương sai, .$Z_1$$Z_2$$\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

Nhưng họ có thể có những khoảnh khắc cao hơn khác nhau?

Nỗ lực của tôi để trả lời câu hỏi này là nếu phân phối và phụ thuộc vào nhiều hơn 2 tham số. Và tôi đang nghĩ về tổng quát có 3 tham số.$X$$Y$$t-student$

Nhưng nếu số lượng tham số là và và đến từ cùng một họ phân phối có cùng kỳ vọng và phương sai, thì điều đó có nghĩa là và có cùng phân phối (thời điểm cao hơn)?$\le2$$X$$Y$$Z_1$$Z_2$

Rõ ràng có một số nhầm lẫn về một họ phân phối là gì và làm thế nào để đếm các tham số miễn phí so với tham số miễn phí cộng với cố định (được gán). Những câu hỏi đó là một bên không liên quan đến ý định của OP và câu trả lời này. Tôi không sử dụng từ gia đình ở đây vì nó khó hiểu. Ví dụ, một gia đình theo một nguồn là kết quả của việc thay đổi tham số hình dạng. @whuber nói rằng "tham số hóa" của một gia đình là một bản đồ liên tục từ một tập hợp con ℝ , với cấu trúc liên kết thông thường của nó, vào không gian phân phối, có hình ảnh là gia đình đó. $^n$ Tôi sẽ sử dụng mẫu từ bao gồm cả mục đích sử dụng của từ này x 2 -2x+4 a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 a 1 =0 a 2 =0gia đình và xác định tham số và đếm. Ví dụ: công thứccó dạng công thức bậc hai, tức làvà nếuthì công thức vẫn ở dạng bậc hai. Tuy nhiên, khicông thức là tuyến tính và biểu mẫu không còn đủ hoàn chỉnh để chứa một thuật ngữ hình dạng bậc hai. Những người muốn sử dụng từ gia đình trong bối cảnh thống kê thích hợp được khuyến khích đóng góp cho câu hỏi riêng biệt đó .$x^2-2x+4$$a_2x^2+a_1x+a_0$$a_1=0$$a_2=0$

Hãy để chúng tôi trả lời câu hỏi "Họ có thể có những khoảnh khắc cao hơn khác nhau không?". Có rất nhiều ví dụ như vậy. Chúng tôi lưu ý rằng việc chuyển câu hỏi dường như là về các tệp PDF đối xứng, đó là những câu hỏi có xu hướng có vị trí và tỷ lệ trong trường hợp tham số bi đơn giản. Logic: Giả sử có hai hàm mật độ với các hình dạng khác nhau có hai tham số (vị trí, tỷ lệ) giống hệt nhau. Sau đó, có một tham số hình dạng điều chỉnh hình dạng, hoặc, các hàm mật độ không có tham số hình dạng chung và do đó là các hàm mật độ không có dạng chung.

Ở đây, là một ví dụ về cách các tham số hình dạng vào nó. Hàm mật độ lỗi tổng quát và ở đây , là một câu trả lời dường như có một kurtosis có thể lựa chọn tự do.

Bởi Skbkekas - Công việc riêng, CC BY-SA 3.0, https : //commons.wik mega.org/w/index.php?curid=6057753

Hàm mật độ PDF (AKA "xác suất", lưu ý rằng từ "xác suất" là không cần thiết) là

Giá trị trung bình và vị trí là , tỷ lệ là và là hình dạng. Lưu ý rằng việc trình bày các tệp PDF đối xứng sẽ dễ dàng hơn, bởi vì các tệp PDF đó thường có vị trí và tỷ lệ là hai trường hợp tham số đơn giản nhất trong khi các tệp PDF không đối xứng, như gamma PDF , có xu hướng có hình dạng và tỷ lệ như các tham số trường hợp đơn giản nhất của chúng. Tiếp tục với hàm mật độ lỗi, phương sai là , độ lệch là và độ là$\mu$$\alpha$$\beta$alpha 2 Γ ( 3$\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$$0$$\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$αα2=Γ(1. Do đó, nếu chúng ta đặt phương sai là 1, thì chúng ta sẽ gán giá trị của từ trong khi thay đổi , do đó, có thể lựa chọn kurtosis trong phạm vi từ đến .$\alpha$$\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$$\beta>0$$-0.601114$$\infty$

Đó là, nếu chúng ta muốn thay đổi các khoảnh khắc bậc cao hơn và nếu chúng ta muốn duy trì giá trị trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1, chúng ta cần thay đổi hình dạng. Điều này ngụ ý ba tham số, nói chung là 1) giá trị trung bình hoặc cách khác là vị trí thích hợp, 2) thang đo để điều chỉnh phương sai hoặc thước đo biến thiên khác và 3) hình dạng. NÓ CÓ ít nhất BA NGƯỜI THAM GIA ĐỂ LÀM NÓ.

Lưu ý rằng nếu chúng tôi thực hiện thay thế , trong tệp PDF ở trên, chúng tôi sẽ nhận được$\beta=2$$\alpha=\sqrt{2}\sigma$

đó là một hàm mật độ phân phối bình thường. Do đó, hàm mật độ lỗi tổng quát là hàm tổng quát của hàm mật độ phân phối chuẩn. Có nhiều cách để khái quát hàm mật độ phân phối bình thường. Một ví dụ khác, nhưng với chức năng phân phối chuẩn của mật độ chỉ như là một giá trị giới hạn, và không có giá trị thay thế tầm trung như hàm mật độ lỗi tổng quát, là sinh viên hàm mật độ 's. Sử dụng hàm mật độ của Học sinh , chúng ta sẽ có một lựa chọn hạn chế hơn về kurtosis và là tham số hình dạng vì khoảnh khắc thứ hai không tồn tại cho . Hơn nữa, df$-t$$-t$$\textit{df}\geq2$$\textit{df}<2$≥ 1 - t df → ∞không thực sự giới hạn ở các giá trị nguyên dương, nó nói chung là thực . Sinh viên chỉ trở nên bình thường trong giới hạn là , đó là lý do tại sao tôi không chọn nó làm ví dụ. Nó không phải là một ví dụ tốt cũng không phải là một ví dụ phản biện, và trong trường hợp này tôi không đồng ý với @ Xi'an và @whuber.$\geq1$$-t$$\textit{df}\rightarrow\infty$

Hãy để tôi giải thích điều này hơn nữa. Người ta có thể chọn hai trong số nhiều hàm mật độ tùy ý của hai tham số để có, ví dụ, giá trị trung bình bằng 0 và phương sai của một tham số. Tuy nhiên, tất cả chúng sẽ không cùng hình thức. Tuy nhiên, câu hỏi liên quan đến các hàm mật độ của biểu mẫu CÙNG, không phải các dạng khác nhau. Khiếu nại đã được đưa ra rằng các hàm mật độ có dạng tương tự là một phép gán tùy ý vì đây là vấn đề định nghĩa, và theo ý kiến ​​của tôi thì khác. Tôi không đồng ý rằng điều này là tùy ý vì người ta có thể thay thế để chuyển đổi một hàm mật độ thành một hàm khác hoặc không thể. Trong trường hợp đầu tiên, các hàm mật độ là tương tự nhau và nếu thay thế chúng ta có thể chỉ ra rằng các hàm mật độ không tương đương, thì các hàm mật độ đó có dạng khác nhau.

Vì vậy, sử dụng các ví dụ về các sinh viên PDF, các lựa chọn là một trong hai coi nó là một sự tổng quát của một PDF bình thường, trong trường hợp một PDF bình thường có một hình thức cho phép đối với một sinh viên 's PDF, hay không, trong trường hợp này sinh viên 's PDF là một dạng khác nhau từ PDF bình thường và do đó là không liên quan đến câu hỏi đặt ra .$-t$$-t$$-t$

Chúng ta có thể tranh luận điều này nhiều cách. Ý kiến của tôi là một PDF bình thường là một hình thức lựa chọn phụ của một sinh viên 's PDF, nhưng điều đó một PDF bình thường không phải là một phụ lựa chọn một gamma PDF mặc dù một giá trị giới hạn của một gamma PDF có thể được hiển thị cho là một PDF bình thường, và lý do của tôi cho điều này là bình thường trong / Sinh viên' trường hợp, sự hỗ trợ là như nhau, nhưng trong trường hợp / gamma thông thường hỗ trợ là vô hạn so với bán vô hạn, đó là sự không tương thích cần thiết .$-t$$-t$

Nếu bạn muốn một ví dụ là "họ phân phối tham số được đặt tên chính thức, bạn có thể xem xét phân phối gamma tổng quát, https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution . Họ phân phối này có ba tham số, vì vậy bạn có thể sửa lỗi trung bình và phương sai và vẫn có quyền tự do thay đổi những khoảnh khắc cao hơn. Từ trang wiki, đại số trông không được mời, tôi thà làm điều đó bằng số. Đối với các ứng dụng thống kê, hãy tìm kiếm trang web này cho gamlss, là phần mở rộng của gam (phụ gia tổng quát các mô hình, bản thân nó là sự khái quát hóa của glm) có các tham số cho "vị trí, tỷ lệ và hình dạng".

Một ví dụ khác là các phân phối , được mở rộng thành một họ quy mô địa điểm. Sau đó, tham số thứ ba sẽ là mức độ tự do, sẽ cảnh giác hình dạng cho một vị trí và tỷ lệ cố định.$t$

Có vô số phân phối với trung bình bằng 0 và phương sai, do đó, phân phối từ một trong các phân phối này, giả sử và từ các phân phối khác, nói với 54 độ tự do được định cỡ lại bởi sao cho phương sai của nó là một, sau đó tận hưởng các thuộc tính bạn đề cập. "Số" của các tham số không liên quan đến thuộc tính.N ( 0 , 1 ) ε 2 t $\epsilon_1$$\mathcal{N}(0,1)$$\epsilon_2$$t$ X=μ+σε$\sqrt\frac{1}{3}$

Rõ ràng, nếu bạn đặt thêm quy tắc cho định nghĩa của họ này, chẳng hạn như nêu rõ rằng tồn tại mật độ cố định sao cho mật độ của là bạn có thể kết thúc bằng một bản phân phối có thể.X $f$$X$

Tôi nghĩ rằng bạn đang hỏi liệu hai biến ngẫu nhiên đến từ cùng một họ quy mô vị trí có thể có cùng giá trị trung bình và phương sai hay không, nhưng ít nhất một thời điểm cao hơn khác nhau. Câu trả lời là không.

Chứng minh : Đặt và là hai biến ngẫu nhiên như vậy. Vì và nằm trong cùng một họ tỷ lệ vị trí, nên tồn tại một biến ngẫu nhiên và các số thực sao cho và . Vì và có cùng giá trị trung bình và phương sai, chúng tôi có:$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X$$a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$$X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$$X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$$X_1$$X_2$

1. $E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$ .
2. $\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$ .

Nếu , thì với xác suất và do đó, thời điểm cao hơn của và đều bằng nhau. Vì vậy, chúng tôi có thể giả sử rằng . Sử dụng điều này, (2) ngụ ý rằng. Vì và , trên thực tế, chúng tôi có . Đổi lại, (1) ở trên bây giờ ngụ ý rằng . Do đó, chúng tôi có: với mọi , tức là mọi khoảnh khắc của và$\operatorname{Var}[X] = 0$$X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$$1$$X_1$$X_2$$\operatorname{Var}[X] \neq 0$$|a_1|=|a_2|$$a_1>0$$a_2>0$$a_1=a_2$$b_1=b_2$

Vì câu hỏi có thể được diễn giải theo nhiều cách, tôi sẽ chia câu trả lời này thành hai phần.

• A: gia đình phân phối.
• B: gia đình phân phối quy mô địa điểm.

Vấn đề với trường hợp A có thể dễ dàng được trả lời / thể hiện bởi nhiều gia đình với tham số hình dạng.

$\mathbb{R}$$\mathbb{R_{>0}}$

Trả lời: Hai phân phối khác nhau từ cùng một họ phân phối 2 tham số có cùng giá trị trung bình và phương sai không?

Câu trả lời là có và nó có thể được hiển thị bằng một trong những ví dụ được đề cập rõ ràng: phân phối Gamma được chuẩn hóa

Gia đình phân phối gamma bình thường hóa

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$X$$Z$

$\gamma$

$Z_1$$Z_2$$\mu=0$$\sigma=1$$k$

B: Hai phân phối khác nhau từ cùng một họ phân phối tỷ lệ vị trí 2 tham số có cùng giá trị trung bình và phương sai không?

Tôi tin rằng câu trả lời là không nếu chúng ta chỉ xem xét các họ trơn tru (trơn tru: một thay đổi nhỏ trong các tham số sẽ dẫn đến một thay đổi nhỏ của phân phối / hàm / đường cong). Nhưng câu trả lời đó không quá tầm thường và khi chúng ta sẽ sử dụng những gia đình chung chung (không suôn sẻ) thì chúng ta có thể nói có , mặc dù những gia đình này chỉ tồn tại trên lý thuyết và không có liên quan thực tế.

Tạo một họ quy mô vị trí từ một phân phối duy nhất bằng cách dịch và chia tỷ lệ

$f(x)$

Đối với một gia đình quy mô vị trí có thể được tạo theo cách chúng tôi có:

• $f(x;\mu_1,\sigma_1)$$f(x;\mu_2,\sigma_2)$$f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

Có thể cho tất cả hai gia đình quy mô vị trí tham số phân phối thành viên của họ từ một phân phối thành viên duy nhất bằng cách dịch và chia tỷ lệ?

$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

Đối với hai họ tham số quy mô vị trí cụ thể như họ phân phối bình thường, không quá khó để chỉ ra rằng chúng có thể được tạo theo quy trình ở trên (chia tỷ lệ và dịch của một thành viên mẫu đơn).

Người ta có thể tự hỏi liệu có thể tạo ra mỗi gia đình hai tham số quy mô vị trí tham số từ một thành viên duy nhất bằng cách dịch và chia tỷ lệ. Hoặc một tuyên bố mâu thuẫn: "Một gia đình hai tham số vị trí có thể chứa hai phân phối thành viên khác nhau có cùng giá trị trung bình và phương sai không?", Điều đó cần thiết là gia đình là một tập hợp của nhiều tiểu thư được tạo bởi dịch thuật và chia tỷ lệ.

Trường hợp 1: Gia đình phân phối t của sinh viên tổng quát, được tham số hóa bởi hai biến

$R^2$$R^3$$\theta_1$$\theta_2$

Hãy sử dụng phân phối t (ba tham số) của Sinh viên tổng quát:

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

sau đó chúng tôi có

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

có thể được coi là một họ hai tham số quy mô vị trí (mặc dù không hữu ích lắm) không thể được tạo ra bằng cách dịch và chia tỷ lệ chỉ một thành viên.

Trường hợp 2: Các họ quy mô vị trí được tạo bởi tỷ lệ âm của một phân phối duy nhất với độ lệch không khác

$x \mapsto f(x/b + a)$$b$

Gia đình suôn sẻ

$f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$các hàm liên tục sẽ thực hiện công việc như các đường cong Peano).

$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

$f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$$\mu$$\sigma$

$\theta_1$$\theta_1$$f(x;\theta_1)$$x$