Xác suất có điều kiện - chúng có phải là duy nhất cho chủ nghĩa Bayes không?

Tôi tự hỏi liệu xác suất có điều kiện là duy nhất đối với chủ nghĩa Bayes, hay liệu chúng có phải là một khái niệm chung được chia sẻ giữa một số trường phái tư tưởng giữa các nhà thống kê / người xác suất.

Tôi cho rằng đó là vì tôi cho rằng không ai có thể là hợp lý, vì vậy tôi nghĩ rằng những người thường xuyên ít nhất sẽ đồng ý về mặt lý thuyết, trong khi cảnh báo chống lại Bayesian suy luận nhiều hơn vì lý do thực tế, và không phải vì xác suất có điều kiện.$p(A,B) = p(A|B)p(B)$

Để chồng chất lên các câu trả lời khác và hoàn toàn đầy đủ, các ví dụ về các mô hình xác suất có điều kiện có rất nhiều trong các mô hình tuyến tính tuyến tính và tổng quát do định nghĩa của các mô hình đó là có điều kiện trên các biến hồi quy hoặc biến số:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

Và khái niệm phân phối xác suất có điều kiện được định nghĩa trong lý thuyết đo lường mà không liên quan đến thống kê và thậm chí ít hơn đến "chủ nghĩa Bayes". Chẳng hạn, Rényi đã xây dựng một lý thuyết xác suất trong số các phiên bản có điều kiện. Cũng lưu ý rằng trong lý thuyết đo lường chính thức, điều hòa liên quan đến -field chứ không phải là một sự kiện. Các kỳ vọng có điều kiện là sau đó một function -measurable mà cho tất cả chức năng đo lường . (Như được minh họa bởi khái niệm martingalesS E [ X | S$\sigma$$\mathfrak{S}$ $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$E S { [ X - E [ X | S ] Z } = 0 S$\mathfrak{S}$

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ $\mathfrak{S}$$Z$.)

Như với tất cả các lý thuyết xác suất , xác suất có điều kiện không liên quan gì đến Bayesian so với thống kê thường xuyên. Ngay cả định lý của Bayes không phải là Bay Bayesian, nhưng là một định lý chung về xác suất, ví dụ, nó có thể được sử dụng để điều chỉnh xác suất cho tỷ lệ cơ sở , mà không có bất kỳ linh mục nào, hoặc giải thích Bayes chủ quan cho xác suất .

Nếu bạn hỏi "xác suất nhận được công việc của kỹ sư cơ sở dữ liệu là bạn là nữ thì sao?" Hoặc "xác suất bạn bị nhiễm HIV là bao nhiêu khi xét nghiệm Western blot là dương tính?", Thì bạn hỏi về điều kiện xác suất. Mô hình hồi quy logistic xác suất có điều kiện, vv

Xem thêm Có cơ sở * toán học * nào cho cuộc tranh luận Bayesian và thường xuyên không? và Bayesian vs Giải thích thường xuyên về Xác suất

Phương pháp thường xuyên cũng sử dụng xác suất có điều kiện. Giá trị p là xác suất có điều kiện. Vấn đề duy nhất là nó không phải là một xác suất có điều kiện rất hữu ích hoặc trực quan. Nếu chúng ta tính toán một hệ số tương quan và máy của chúng ta sẽ phát ra ra p p. 0,03, thì điều thực sự nói là:

$p(D^*|H_0) = .03$

Trong đó đề cập đến dữ liệu được quan sát hoặc dữ liệu cực đoan hơn (nghĩa là dữ liệu tạo ra kết quả quan sát hoặc kết quả mạnh hơn theo cùng một hướng) và là giả thuyết không (và tất cả các giả định đi cùng với nó).H $D^*$$H_0$

Dựa trên giả thuyết null, xác suất chúng tôi quan sát dữ liệu của chúng tôi hoặc dữ liệu cực đoan hơn là 0,03. Đó là một xác suất có điều kiện hoàn toàn không có định lý Bayes. Theo ý kiến ​​của tôi, nó thường không hữu ích (trừ khi bạn thực sự cố gắng đạt được xác suất này vì lý do này hay lý do khác).

Tôi không nghĩ thật công bằng khi nói rằng xác suất có điều kiện là duy nhất đối với chủ nghĩa Bayes.

(Các chuyên gia lý thuyết đo lường, xin vui lòng chỉnh sửa cho tôi.)

Một cách bạn có thể xem xác suất có điều kiện - đặc biệt là khi bạn có kết quả có khả năng như nhau - dựa trên tính toán xác suất của bạn trên một tập hợp con , trong đó là không gian mẫu.$\Omega^{\prime} \subset \Omega$$\Omega$

Ví dụ: xem xét một số dữ liệu hư cấu được thu thập (NB: chúng tôi không có thông tin "trước") trong một khảo sát:

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ Hãy giả sử rằng xác suất chọn bất kỳ người nào được khảo sát ở trên đều có khả năng như nhau. Hãy xem xét không gian mẫu của tất cả những người được khảo sát và để , trong đó là một hàm không phải là rỗng của các tập con của .$\Omega$$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$$\mathcal{A}$$\sigma$$\Omega$

Theo định nghĩa của một sự kiện có khả năng như nhau, đối với mọi sự kiện , trong đóbiểu thị tập hợp cardinality.$A \in \mathcal{A}$

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $|\cdot|$

Nếu chúng ta quan tâm, giả sử, xác suất sở hữu TV cho rằng bạn là nữ, hãy để là sự kiện là nữ và là sự kiện sở hữu TV, chúng ta sẽ tính xác suất là và chúng tôi đang điều trị khi không gian mẫu mới của chúng tôi . Nhưng lưu ý rằng chúng ta có thể viết Đây chính xác là định nghĩa của xác suất có điều kiện và không sử dụng định lý Bayes. Tất cả những gì chúng tôi đang làm là hạn chế không gian mẫu của chúng tôi.$A$$B$

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ $A$$\Omega^{\prime} = A$ $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$

Tôi đến hơi muộn với bữa tiệc đặc biệt này, nhưng tôi đoán rằng tôi sẽ thêm một câu trả lời triết lý hơn cho các câu trả lời xuất sắc khác ở đây, trong trường hợp nó có thể hữu ích cho những người tìm kiếm trong tương lai.

Nếu bạn là người thường xuyên giả thuyết, thì định nghĩa về xác suất có điều kiện tuân theo luật giới hạn cho phép chia. Một cách rõ ràng, hãy để là số lần là đúng trong thử nghiệm và là số lần đúng trong thử nghiệm. Chúng tôi xác định và Cuối cùng, hãy để là phân số của thời gian khi đúng là cũng đúng, trong giới hạn vô hạn: $f_N (A \land E)$$A\land E$$N$$f_N (E)$$E$$N$

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ $p(A | E )$$E$$A$ $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ Giả sử khác không, chúng ta có $p(E)$ $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$