Phần trăm của , trong đó

Giả sử $X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$ , $Y \sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$ và $\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$ . Tôi quan tâm đến việc tính toán phần trăm của $Z = \max(X,Y)$ . Chúng ta có thể giả định tính bình thường bivariate.

Tôi biết cách tìm pdf, giá trị trung bình và phương sai của $Z$ , nhưng tôi gặp khó khăn khi giải hoặc tìm một xấp xỉ cho phần trăm. Điều này đã được làm việc ở đâu đó trong văn học?

probability order-statistics

— Dimitriy V. Masterov
nguồn

(X, Y)

$(X,Y)$ là bivariate bình thường?

— kjetil b halvorsen

Tôi muốn tránh giả định đó nếu có thể.

— Dimitriy V. Masterov

Có một lý do tại sao bạn không thể đưa ra giả định đó?

— Jon

Làm thế nào bạn làm việc ra pdf mà không đưa ra một số giả định về phân phối chung?

— jbowman

Chúng ta hãy giả sử tính bình thường nếu điều đó làm cho mọi thứ dễ dàng hơn.

— Dimitriy V. Masterov

Bạn có thể tính toán số này . Đối với kết quả lý thuyết, tôi không có một tham chiếu đến các tài liệu, nhưng đây là một tính toán như thế nào vấn đề của bạn có liên quan đến CDF bình thường tiêu chuẩn . $\Phi$

Pdf chung là trong đó Để đơn giản, tôi sẽ giả sử , : Bây giờ chúng ta có, sử dụng , đó là

f (x_{1}, x_{2}) = = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} điểm kinh nghiệm [- \frac{z}{2 (1 - ρ^{2})}]

$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right]$

z = = \frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} - \frac{2 ρ (x_{1} - μ_{1}) (x_{2} - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}} .

$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$

μ_{1} = μ_{2} = 0

$\mu_1=\mu_2=0$

σ_{1} = σ_{2} = 1

$\sigma_1=\sigma_2=1$

f (x_{1}, x_{2}) = = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} điểm kinh nghiệm [- \frac{z}{2 (1 - ρ^{2})}], z = = x_{1}^{2} - 2 ρ x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} .

$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad z=x_1^2 - 2\rho x_1x_2 + x_2^2.$

x^{2} - 2 ρ x y = (x - ρ y)^{2} - ρ^{2} y^{2}

$x^2-2\rho xy = (x-\rho y)^2-\rho^2y^2$

Pr (tối đa (X, Y) \leq một) = = \int_{- \infty}^{một} \int_{- \infty}^{một} f (x, y) d x d y = =

$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy=$

\frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{một} điểm kinh nghiệm (- \frac{y^{2}}{2 (1 - ρ^{2})}) \int_{- \infty}^{một} điểm kinh nghiệm (- \frac{x^{2} - 2 ρ x y}{2 (1 - ρ^{2})}) d x d y

$\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$

= = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{một} điểm kinh nghiệm (- \frac{y^{2}}{2}) \int_{- \infty}^{một} điểm kinh nghiệm (- \frac{(x - ρ y)^{2}}{2 (1 - ρ^{2})}) d x d y

$=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{(x-\rho y)^2}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$ Hãy để bình thường với trung bình và phương sai . Sau đó Vì vậy, chúng tôi nhận được

W

$W$

ρ y

$\rho y$

1 - ρ^{2}

$1-\rho^2$

Pr (W \leq một) = = Pr ((W - ρ y) / \sqrt{1 - ρ^{2}} \leq (một - ρ y) / \sqrt{1 - ρ^{2}})

$\Pr(W\le a)=\Pr\left((W-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\le (a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right)$

= = Φ ((một - ρ y) / \sqrt{1 - ρ^{2}}) .

$=\Phi\left((a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right).$

$Pr (tối đa (X, Y) \leq một) = = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{một} điểm kinh nghiệm (- y^{2} / 2) Φ (\frac{một - ρ y}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) d y .$ $\Pr(\max(X,Y)\le a)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a \exp\left(-y^2/2\right)\Phi\left(\frac{a-\rho y}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\,dy.$

Bạn có thể thấy rằng nếu thì đây chỉ là , như nó phải vậy. $\rho=0$ $\Phi(a)^2$

— Bjørn Kjos-Hanssen
nguồn

(+1) Tích phân này bằng , tức là hàm phân phối tích lũy bivariate, trong đó cả hai biến được đánh giá tại và có tương quan . Tích phân thông thường bivariate có sẵn như là một chức năng đặc biệt được làm sẵn trong hầu hết tất cả các phần mềm, vì vậy chúng tôi thực sự không cần phải đi vào cầu phương.

Φ_{2} (a, a; ρ)

$\Phi_2 (a,a;\rho)$

a

$a$

ρ

$\rho$

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Tôi không biết đó gọi là , cảm ơn vì thông tin này.

Φ_{2}

$\Phi_2$

— Bjørn Kjos-Hanssen