Lambda - Giải thích theo cấp số nhân so với Poisson

8

Tôi đang cố gắng hiểu vai trò của trong cả Phân phối Poisson và Phân phối theo cấp số nhân và cách sử dụng để tìm xác suất (vâng, tôi đã đọc bài đăng khác về chủ đề này, không hoàn toàn làm điều đó cho tôi). $\lambda$

Những gì (tôi nghĩ) tôi hiểu:

Phân phối Poisson -
- rời rạc
- $\lambda$ được định nghĩa là số lần thành công trung bình (tuy nhiên "thành công" được xác định, bối cảnh vấn đề được đưa ra) trên mỗi đơn vị thời gian hoặc không gian
- PMF: $~~P(X = k;\lambda) = \frac{ \lambda^ke^{-\lambda} }{k!}$
- $P(X\leq k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k)$
- $P(X< k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k~-~1)$
- $P(X\geq k) = 1~-~P(X<k)$
- $P(X > k) = 1~-~P(X\leq k)$
Phân phối theo cấp số nhân -
- tiếp diễn
- $\lambda$ được định nghĩa là thời gian / không gian trung bình giữa các sự kiện (thành công) tuân theo Phân phối Poisson
- Nơi sự hiểu biết của tôi bắt đầu mờ dần:
- PDF: $~~f(x; \lambda)~=~ \lambda e^{-\lambda x}$
- CDF: $P(X \leq k; \lambda)~=~1~-~e^{-\lambda x}$
- $P(X > k; \lambda) ~=~ 1 ~-~P(X \leq k; \lambda)~=~e^{-\lambda x}$

Nơi tôi nghĩ rằng sự hiểu lầm nằm:

Đến bây giờ tôi đang giả sử $\lambda$ có thể được hoán đổi giữa hai bản phân phối. Đây có phải là trường hợp? Tôi đã đọc ngắn gọn về "tham số lại" và tôi nghĩ đó có thể là chìa khóa, nhưng tôi không biết quá trình đó đang đề cập đến điều gì. Làm thế nào để tôi làm điều này và nó ảnh hưởng đến PMF và CDF của phân phối theo cấp số nhân như thế nào?

Tất cả điều này xuất phát từ một vấn đề hỏi: Cho một biến ngẫu nhiên X theo phân phối hàm mũ với lambda = 3, tìm P (X> 8). Cách tiếp cận của tôi là $e^{-3*8}$ , đưa ra một xác suất dường như quá thấp.

self-study poisson-distribution exponential-distribution

— Marshall McQuillen
nguồn

6

Giả sử Tôi đang chờ đợi một chiếc xe buýt tại một trạm. Và giả sử rằng một chiếc xe buýt thường đến tại trạm trong mỗi 10 phút. Bây giờ tôi xác định là tốc độ đến của xe buýt mỗi phút . Vậy, = (1/10).

Bây giờ tôi muốn tính xác suất không có xe buýt nào đến trong phút tiếp theo. Tôi có thể làm điều đó bằng cách sử dụng cả phân phối poisson và phân phối theo cấp số nhân.

Poisson

λ = 1/10

Xác suất 0 lượt đến trong phút tiếp theo: P (X = 0) = 0,9048

số mũ

λ = 1/10

Xác suất tôi phải đợi hơn 1 phút: P (X> 1) = 0,9048

Lưu ý: Nhìn vào các giá trị dự kiến của cả hai bản phân phối. Đối với Poisson, chúng ta nhận được rằng số lượng xe buýt trung bình đến mỗi phút E (X) = = 0,10 xe buýt. Theo cấp số nhân, thời gian chờ trung bình để xe buýt đến E (X) = (1 / λ) = 10 phút

— mohit tuteja
nguồn

5

Việc cả hai bản phân phối này sử dụng cùng một tham số có lẽ là một sự trùng hợp xuất phát từ quy ước công chứng. Rốt cuộc, một biến ngẫu nhiên là rời rạc, và biến còn lại là liên tục. Họ không bao giờ nên mô hình chính xác điều tương tự.

Tuy nhiên, đôi khi nó không phải là một sự trùng hợp. Một trường hợp trong đó các tham số này có thể có nghĩa là những điều tương tự và nơi bạn có thể sử dụng một trong hai phân phối này trong cùng một tác vụ mô hình hóa là khi bạn đang sử dụng quy trình Poisson . Điều này sẽ hữu ích trong trường hợp bạn lập mô hình mọi thứ đến ngẫu nhiên (ví dụ: bạn nhận được văn bản trên điện thoại di động). Nói rằng bạn bắt đầu đo thời gian $0$ . Sửa chữa bất cứ lúc nào $t > 0$ , bạn có thể gọi tổng số nhận được vào thời điểm này $N_t$ và giả định

N_{t} ~ Poisson (λ t);

$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t);$

λ

$\lambda$ đây là một tỷ lệ được đo bằng các cuộc gọi trên mỗi đơn vị thời gian.

Bạn cũng có thể nhìn vào thời gian chờ đợi giữa các văn bản $X_1, X_2, \ldots$ và cho rằng

X_{Tôi} \overset{Tôi Tôi d}{~} số mũ (λ);

$X_i \overset{iid}{\sim} \text{Exponential}(\lambda);$ đây

λ

$\lambda$ cũng là một tỷ lệ (nếu bạn viết mật độ theo cách bạn đang ở trong câu hỏi này). Thời gian đến của mỗi tin nhắn văn bản là tổng một phần

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ .

Mối quan hệ giữa hai phân phối trong tình huống cụ thể này như sau: được cung cấp một số nguyên $n$ và một thời gian $t$ ,

P (S_{n} \leq t) = = P (N_{t} \geq n) .

$P(S_n \le t) = P(N_t \ge n).$ Trong trường hợp đặc biệt

n = t = 1

$n = t = 1$ , cả hai biểu thức này đều bằng

1 - e^{- λ}

$1 - e^{-\lambda}$ .

— Taylor
nguồn

Vì vậy có thể

λ

$\lambda$ được hoán đổi giữa hai bản phân phối? Lý do tôi hỏi là bởi vì, từ nguồn này , có một đề xuất có nội dung: "Số lần xuất hiện của một sự kiện trong một đơn vị thời gian có phân phối Poisson với tham số

λ

$\lambda$ nếu thời gian trôi qua giữa hai lần xuất hiện liên tiếp của sự kiện có phân phối theo cấp số nhân với tham số

λ

$\lambda$ và nó độc lập với những lần xuất hiện trước, "Điều này khiến tôi nghĩ rằng tôi có thể trao đổi

λ

$\lambda$ giữa hai phương trình.

— Marshall McQuillen

@MarshallMcQuillen đây là những gì tôi đã trả lời. Bạn không thể trao đổi với nhau lambda trong trường hợp của quá trình Poisson, nhưng hai biến ngẫu nhiên chia sẻ một công thức cho các xác suất khác nhau

— Taylor

3

Các lambdas có thể hoán đổi cho nhau trong những bối cảnh nhất định. Giả sử rằng tôi đang đo độ phóng xạ với bộ đếm Geyger . Trong một trường hợp, $\lambda=2$ có nghĩa là trung bình tôi nhận được 2 lần nhấp mỗi giây và thời gian trung bình giữa các lần nhấp là $1/2$ giây Số lần nhấp mỗi giây là từ phân phối Poisson và thời gian giữa các lần nhấp là từ phân phối theo cấp số nhân, với cả hai lần nhấp này đều có $\lambda=2$ .

— Aksakal
nguồn

2

Liệu điều này, từ Wikipedia tổng hợp mối quan hệ một cách đơn giản?

Nếu với mỗi t> 0 số lượng khách đến trong khoảng thời gian [0, t] tuân theo phân phối Poisson với trung bình λt, thì chuỗi thời gian liên tiếp là độc lập và các biến ngẫu nhiên theo hàm mũ phân phối có ý nghĩa 1 /.

Tham khảo: SM Ross (2007). Giới thiệu về Mô hình Xác suất (lần thứ chín.). Boston: Nhà xuất bản học thuật. ISBN 978-0-12-598062-3 . tr 307 307.308.

— Matt Wenham
nguồn

1

Như đã nêu trong câu trả lời của Taylor, có một mối liên hệ giữa phân phối theo cấp số nhân và phân phối Poisson thông qua sự tương đương của các báo cáo xác suất nhất định liên quan đến các quy trình này trong quy trình Poisson. Về mặt toán học, sự tương đương này xuất phát từ một thuộc tính lặp lại của hàm gamma không hoàn chỉnh, có thể được sử dụng để hiển thị tương đương xác suất có vấn đề.

Trong một quá trình Poisson, chúng ta có các sự kiện xảy ra ở một tỷ lệ xác định $\lambda > 0$ và chúng ta có thể phân tích quá trình bằng cách xem xét thời gian giữa các sự kiện hoặc số lượng sự kiện trong một thời gian nhất định. Để làm trước, hãy $X_1, X_2, X_3, ... \sim \text{IID Exp} (\lambda)$ là thời gian giữa các sự kiện trong quy trình và xác định tổng một phần $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$ , đại diện cho thời gian đầu tiên $n$ sự kiện. Sau đó chúng tôi có $S_n \sim \text{Ga} (n, \lambda)$ vậy nên:

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) = = 1 - P (S_{n} > t) & = = 1 - \int_{t}^{\infty} Ga (S | n, λ) d S \\ = = 1 - \frac{λ^{n}}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} S^{n - 1} điểm kinh nghiệm (- λ S) d S \\ = = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} (λ S)^{n - 1} điểm kinh nghiệm (- λ S) λ d S \\ = = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{λ t}^{\infty} r^{n - 1} điểm kinh nghiệm (- r) d r \\ = = 1 - \frac{Γ (n, λ t)}{Γ (n)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) = 1 - \mathbb{P}(S_n >t) &= 1 - \int\limits_t^{\infty} \text{Ga} (s|n, \lambda) ds \\ &= 1-\frac{\lambda^n}{\Gamma (n) } \int\limits_t^{\infty} s^{n-1} \exp (- \lambda s) ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_t^{\infty} (\lambda s) ^{n-1} \exp (- \lambda s) \lambda ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_{\lambda t}^{\infty} r^{n-1} \exp \left( - r \right) dr \\ &= 1-\frac{\Gamma(n, \lambda t)}{\Gamma (n)}. \\ \end{aligned} \end{equation}$

Sử dụng tích hợp bởi các bộ phận, chức năng gamma không hoàn chỉnh phía trên tuân theo sự tái phát:

\begin{matrix} Γ (n, x) = = (n - 1) Γ (n - 1, x) + x^{n - 1} điểm kinh nghiệm (- x) & Γ (1, x) = = điểm kinh nghiệm (- x) . \end{matrix}

$\begin{matrix} \Gamma (n, x) = (n-1) \Gamma(n-1, x) + x^{n-1} \exp (-x) & & \Gamma (1, x) = \exp(-x). \end{matrix}$

Đối với số nguyên $n$ , áp dụng lặp đi lặp lại của sản lượng tái phát này:

Γ (n, x) = = Γ (n) điểm kinh nghiệm (- x) Σ_{k = = 0}^{n - 1} \frac{x^{k}}{k!} .

$\Gamma (n, x) = \Gamma (n) \exp (-x) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}.$

Vì vậy, hãy để $N_t \sim \text{Pois} (\lambda t)$ chúng ta có:

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) & = = 1 - điểm kinh nghiệm (- λ t) Σ_{k = = 0}^{n - 1} \frac{(λ t)^{k}}{k!} \\ = = 1 - Σ_{k = = 0}^{n - 1} Chất độc (k | λ t) \\ = = Σ_{k = = n}^{\infty} Chất độc (k | λ t) \\ = = P (N_{t} ⩾ n) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) &= 1- \exp (-\lambda t) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \\ &= 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \sum_{k=n}^{\infty} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \mathbb{P} (N_t \geqslant n). \end{aligned} \end{equation}$

Điều này cho chúng ta một kết quả trực quan cơ bản cho quá trình Poisson. Nếu thời gian đầu tiên $n$ sự kiện không lớn hơn $t$ sau đó số lượng sự kiện đã xảy ra tại thời điểm đó $t$ là ít nhất $n$ . Nếu thời gian giữa các sự kiện tuân theo phân phối theo cấp số nhân thì số lượng sự kiện tại một thời điểm nhất định tuân theo phân phối Poisson.

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn