Làm thế nào để tính toán với xác suất nhỏ và mẫu lớn?

Có thể tính toán hoặc tính gần đúng xác suất của một điều cực kỳ khó xảy ra một lần trên một mẫu lớn, nghĩa là, trong trường hợp xác suất nhỏ hơn lỗi máy?

Ví dụ, tôi đã cố gắng tính toán khả năng gần đúng của một người nào đó chia sẻ bộ gen của tôi. Rõ ràng một bộ gen cá nhân có thể được nén một cách dễ dàng đến khoảng 4 MB (2 ^ 25 bit). Vì vậy, cơ hội của một trong số 7 tỷ người trên hành tinh chia sẻ bộ gen của tôi là về:

$(1-\frac{1}{2^{2^{25}}})^{(7\times10^9)}$ .

Hoặc sử dụng phương pháp bài toán Sinh nhật , khả năng có ít nhất hai người có bộ gen giống hệt nhau (hãy bỏ qua cặp song sinh và vv) là một cái gì đó như:

$\frac{(7\times10^9)!\cdot{{2^{2^{25}}} \choose 7\times10^9}}{({2^{2^{25}})}^{(7\times10^9)}}$

Vấn đề ở đây là những con số quá nhỏ hoặc quá lớn đến nỗi không thể đoán được chúng nằm ở đâu. Vì vậy, có cách nào gần đúng những tính toán này hoặc tương tự?

Tôi nhận ra rằng trong một số trường hợp, các giả định đằng sau các vấn đề có thể được đưa ra bằng nhiều bậc độ lớn, nhưng thậm chí có thể xấp xỉ với "nhiều khả năng hơn là không" sẽ rất thú vị.

Trong vật lý, một bài toán Fermi là một bài tập yêu cầu bạn ước tính thứ tự độ lớn. Bạn có thể làm tương tự cho xác suất. Với thực hành, trực giác của bạn nên cải thiện.

Như Xi'an nhận xét, bạn có thể sử dụng logarit. Có lẽ bạn không thể nhìn thấy trong nháy mắt, nhưng bạn có thể thấy rằng (hoặc ), trong đó ngụ ý nó. 2 25 » 10 10 log 2 10 ≈ $2^{2^{25}} \gg 10^{10}$$2^{25} \gg 10$$10 \log_2 10 \approx 33$

Thay vì sử dụng các công thức phức tạp để tính toán các giá trị chính xác mà bạn không cần, hãy sử dụng các ước tính đơn giản để tính toán. Ví dụ: xác suất có ít nhất một người khác có bộ gen của bạn (bỏ qua cặp song sinh) nhiều nhất là số người dự kiến ​​có cùng bộ gen, một sản phẩm đơn giản mà bạn có thể ước tính là rất nhỏ. Tương tự, xác suất một số cặp người có bộ gen giống nhau nhiều nhất là số lượng người dự kiến ​​có cùng bộ gen, khoảng$\frac {1}{2^{2^{25}}} (7 \times 10^9)$

Nhân tiện, tôi không chấp nhận mô hình xác suất này cho bộ gen. Tôi chỉ sử dụng mô hình của bạn cho ví dụ. Mô hình này sẽ dự đoán rằng sự giống nhau về di truyền thường thấy giữa anh chị em là không thể về mặt thiên văn.

Tôi nghĩ rằng điều này dẫn đến một vấn đề ước tính các đuôi cực của phân phối xác suất mà không có cỡ mẫu cực lớn cần thiết để có được bất kỳ hoặc chỉ một số lượng nhỏ các giá trị quan sát được ở các giá trị cực đoan đó. Cách duy nhất để làm điều này là bằng cách giả sử một mô hình tham số mà "tự động" giả định một hình dạng cho các đuôi phân phối. Nhưng nếu bạn có lý do cho mô hình xác suất thì bạn có thể lấy ước tính bạn tìm kiếm bằng cách khớp mật độ từ họ tham số và sử dụng nó để tích hợp trên vùng đuôi để ước tính xác suất nhỏ đó. Nếu giả định tham số sai, ước tính có thể bị loại bỏ (theo thứ tự cường độ).