Điểm kỹ thuật về sự hội tụ với kỳ vọng có điều kiện

Tôi có một chuỗi các biến không âm chẳng hạn như: $X_n$

E (X_{n} | C_{n}) = \frac{C_{n}}{n^{2}}

$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$

Trong đó là một chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ gần như chắc chắn thành . $C_n$ $1$

Tôi có thể kết luận có xu hướng về 0 gần như chắc chắn không? $X_n$

Lưu ý: bạn có thể thay thế bằng bất kỳ chuỗi nào bằng tổng hữu hạn. Câu hỏi về cơ bản vẫn giống nhau và câu trả lời được cung cấp bởi Jason hoạt động giống nhau (xem phần lập luận Borel-Cantelli). $\frac{1}{n^2}$

probability convergence conditional-expectation

— Benoit Sanchez
nguồn

Có, gần như chắc chắn. $X_{n} \to 0$ Cuộc tranh cãi mà tôi có là một chút phức tạp, vì vậy hãy chịu đựng tôi.

Trước tiên, hãy xem xét các sự kiện . Với sự hội tụ gần như chắc chắn của , theo sau , và vì chúng ta có . Vì vậy, nó đủ cho thấy như trong vòng , với mọi . $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ $C_{n}$ $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ $P(F_{k}) \to 0$ $X_{n} \to 0$ $F_{k}^{c}$ $k$

Bây giờ sửa một và một . Sử dụng ký hiệu để biểu diễn , chúng tôi có Đây là loại phần chính. (Cũng lưu ý rằng chúng tôi đã sử dụng tính không âm của trong bước đầu tiên, để chuyển từ sang sự kiện lớn hơn ) Từ đây chúng tôi chỉ cần một số biện pháp lý thuyết đo lường khá run-of-the-mill. $k$ $\varepsilon > 0$ $E[X; A]$ $E[X 1_{A}]$ $n \geq k$

E [X_{n}; F_{k}^{c}] \leq E [X_{n}; C_{n} \leq 2] = E [E (X_{n} | C_{n}); C_{n} \leq 2] = E [C_{n} / n^{2}; C_{n} \leq 2] \leq 2 / n^{2} .

$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$

X_{n}

$X_{n}$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

C_{n} \leq 2

$C_{n} \leq 2$

Các ràng buộc ở trên, cùng với độ không âm của , ngụ ý rằng (đối với ), do đó $X_{n}$ $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ $n \geq k$

\sum_{n \geq k} P (F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε}) < \infty .

$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$

Theo bổ đề Borel-Cantelli, giờ đây chúng ta có thể nói rằng sự kiện có xác suất bằng không. Vì là độc lập, điều này đưa chúng ta như trên .

F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε for infinitely many n}

$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$

ε

$\varepsilon$

X_{n} \to 0

$X_{n} \to 0$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

— Jason
nguồn

Điều này có thể được thay đổi một chút để cho thấy rằng với bất kỳ số mũ trên sao cho , , dường như đối với tôi.

α

$\alpha$

n

$n$

α > 1

$\alpha > 1$

X_{n} \to 0 a.s.

$X_n \to 0 \space \text{a.s.}$

— Jbowman

Cảm ơn rất nhiều. Theo bạn có nghĩa là hay ?

E (X; A)

$E(X;A)$

E (X | A)

$E(X|A)$

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Ý bạn là :-) Có lẽ bạn nên đề cập đến nó. Mọi thứ dường như đúng với tôi, thật tuyệt! Thành thật mà nói, tôi không nghĩ có một bằng chứng đơn giản hơn.

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Phải, Benoit, ý tôi là . Tôi sẽ chỉnh sửa để làm rõ điều đó.

E (X 1_{A})

$E(X 1_{A})$

— Jason

Đặt . Khi đó và . Theo bất đẳng thức của Markov, có tổng hữu hạn, do Borel Cantelli, và gần như chắc chắn. $Z_n=X_n/C_n$ $E[Z_n]=1/n^2$ $Z_n\ge 0$ $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ $Z_n\to 0$

Nếu gần như chắc chắn và gần như chắc chắn thì gần như chắc chắn. $Z_n\to0$ $C_n\to 1$ $X_n=Z_nC_n\to 0$

— jlewk
nguồn