Tại sao chúng ta quan tâm nếu một quá trình MA là không thể đảo ngược?

Tôi gặp khó khăn trong việc hiểu lý do tại sao chúng ta quan tâm nếu một quá trình MA là không thể đảo ngược hay không.

Vui lòng sửa lại cho tôi nếu tôi sai, nhưng tôi có thể hiểu tại sao chúng ta quan tâm liệu một quá trình AR có phải là nguyên nhân hay không, tức là nếu chúng ta có thể "viết lại", có thể nói, như là tổng của một số tham số và nhiễu trắng - tức là một quá trình trung bình di chuyển. Nếu vậy, chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng quá trình AR là nguyên nhân.

Tuy nhiên, tôi gặp khó khăn trong việc hiểu lý do tại sao chúng tôi quan tâm liệu chúng tôi có thể đại diện cho một quy trình MA như một quy trình AR hay không bằng cách cho thấy rằng nó không thể đảo ngược. Tôi thực sự không hiểu tại sao chúng ta quan tâm.

Bất kỳ cái nhìn sâu sắc sẽ là tuyệt vời.

Khả năng đảo ngược không thực sự là vấn đề lớn vì hầu hết mọi mô hình MA $(q)$ không thể đảo ngược của Gaussian có thể được thay đổi thành mô hình MA $(q)$ khả nghịch thể hiện cùng một quy trình bằng cách thay đổi các giá trị tham số. Điều này được đề cập trong hầu hết các sách giáo khoa cho mô hình MA (1) nhưng nói chung là đúng hơn.

Ví dụ, xem xét mô hình MA (2)

$$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$$ trong đó $w_t$ là nhiễu trắng với phương sai $\sigma_w^2$ . Đây không phải là một mô hình khả nghịch vì$\theta(B)$có một gốc tương đương với 0,5 bên trong vòng tròn đơn vị. Tuy nhiên, hãy xem xét mô hình MA (2) thay thế thu được bằng cách thay đổi gốc này thành giá trị đối ứng của nó là 2 sao cho mô hình đó có dạng $$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$$ nơi$w_t'$ có sai$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . Bạn có thể dễ dàng xác minh rằng các mô hình (1) và (2) đều có cùng chức năng tự động tương tự và do đó chỉ định phân phối giống nhau cho dữ liệu nếu quy trình là Gaussian.

Để thực hiện các mô hình mang tính chất như rằng có một one-to-one ánh xạ từ $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ với sự phân bố của dữ liệu, không gian tham số do đó theo quy ước giới hạn của khả nghịch mô hình. Quy ước cụ thể này được ưa thích vì mô hình sau đó có thể được đặt trực tiếp trong AR $(\infty)$ hình thức với hệ số $\pi_1,\pi_2,\dots$ thỏa mãn phương trình chênh lệch đơn giản $\theta(B)\pi_i=0$ .

Nếu chúng ta không áp đặt giới hạn này đối với không gian tham số, thì hàm khả năng của MA $(q)$ nói chung sẽ có tối đa $2^q$ tối ưu cục bộ (nếu đa thức MA có $q$ gốc thực sự khác biệt) là điều chúng ta muốn tránh .

Bạn luôn có thể di chuyển rễ từ bên trong ra bên ngoài vòng tròn đơn vị với sự thay đổi tương ứng trong phương sai tạp âm trắng bằng kỹ thuật trên, ngoại trừ trong trường hợp đa thức MA có một hoặc nhiều gốc chính xác trên vòng tròn đơn vị.

$X_t$

$$X_t = \theta(B)Z_t$$ $$\xi(B)X_t = Z_t$$ $\xi(B)$

Ngoài ra, đánh giá theo tiêu đề trong tài liệu tham khảo trong liên kết đầu tiên, những tác giả đó có rất nhiều điều để nói về vấn đề này. Thật không may, tôi không thể tìm thấy một bản sao của cuốn sách / giấy đó trên internet. Nếu bất cứ ai có thể tìm thấy điều đó, xin vui lòng cho tôi biết.