Tôi đang cố gắng mô hình hóa và dự báo một chuỗi thời gian theo chu kỳ thay vì theo mùa (tức là có các mẫu giống như theo mùa, nhưng không có một khoảng thời gian cố định). Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng mô hình ARIMA, như được đề cập trong Phần 8.5 của Dự báo: nguyên tắc và thực hành :

Giá trị của rất quan trọng nếu dữ liệu hiển thị theo chu kỳ. Để có được các dự báo theo chu kỳ, cần phải có cùng với một số điều kiện bổ sung trên các tham số. Đối với mô hình AR (2), hành vi tuần hoàn xảy ra nếu .p ≥ 2 φ 2 1 + 4 φ 2 < $p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Những điều kiện bổ sung trên các tham số trong trường hợp ARIMA (p, d, q) chung là gì? Tôi đã không thể tìm thấy chúng ở bất cứ đâu.

Một số trực giác đồ họa

Trong các mô hình AR , hành vi tuần hoàn đến từ các gốc liên hợp phức tạp đến đa thức đặc trưng. Trước tiên để đưa ra trực giác, tôi đã vẽ các hàm phản hồi xung dưới đây cho hai mô hình AR (2) mẫu.

1. Một quá trình bền bỉ với rễ phức tạp.
2. Một quá trình bền bỉ với rễ thực sự.

Với $j=1\,\ldots, p$ , Rễ của đa thức đặc trưng là$\frac{1}{\lambda_j}$ đâu$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$là giá trị riêng của$A$ma trận Tôi định nghĩa dưới đây. Với một giá trị riêng liên hợp phức tạp$\lambda = r e^{i \omega t}$và$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$, các$r$điều khiển các giảm xóc (nơi$r \in [0, 1)$) và$\omega$kiểm soát tần số của sóng cosin.

Ví dụ chi tiết về AR (2)

Giả sử chúng ta có AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Bạn có thể viết bất kỳ AR (p) nào dưới dạng VAR (1) . Trong trường hợp này, đại diện VAR (1) là:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ Matrix$A$điều chỉnh việc động lực của$X_t$và do đó$y_t$. Phương trình đặc trưng của ma trận$A$ là: $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ Các giá trị riêng của$A$ là: $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ Các vector riêng của$A$là: $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Lưu ý rằng $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$ . Hình thành phân rã eigenvalue và nâng $A$ lên $k$ thứ k .

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Giá trị riêng thực tế $\lambda$ dẫn đến sự phân rã khi bạn tăng $\lambda^k$ . Eigenvalues ​​với các thành phần tưởng tượng khác không dẫn đến hành vi tuần hoàn.

Giá trị riêng với trường hợp thành phần tưởng tượng: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

$0 \leq r < 1$

$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

ruột thừa

Lưu ý cảnh báo thuật ngữ khó hiểu! Liên hệ đa thức đặc trưng của A với đa thức đặc trưng của AR (p)

Một mẹo hàng loạt thời gian khác là sử dụng toán tử lag để viết AR (p) là:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Người giới thiệu

Prado, Raquel và Mike West, Chuỗi thời gian: Mô hình hóa, tính toán và suy luận , 2010