Biểu thức dạng đóng cho các lượng tử của

Tôi có hai biến ngẫu nhiên, trong đó là phân phối 0-1 thống nhất. $\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$ $U(0,1)$

Sau đó, những điều này mang lại một quá trình, nói:

P (x) = α_{1} \sin (x) + α_{2} \cos (x), x \in (0, 2 π)

$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$

Bây giờ, tôi đã tự hỏi liệu có một biểu thức dạng đóng cho lượng tử lý thuyết 75 phần trăm của cho một - tôi cho rằng tôi có thể làm điều đó với một máy tính và nhiều nhận thức về , nhưng tôi thích dạng đóng--. $F^{-1}(P(x);0.75)$ $P(x)$ $x\in(0,2\pi)$ $P(x)$

distributions probability stochastic-processes

— người dùng603
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn muốn giả sử α

_{1}

$_1$ và α

_{2}

$_2$ là độc lập thống kê.

— Michael R. Chernick

@Procrastinator: bạn có thể viết điều này như một câu trả lời không?

— user603

(+1) Quan điểm "quá trình" dường như là một chút cá trích đỏ ở đây. Viết

P (x) = β_{1} \sin x + β_{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = \beta_1 \sin x + \beta_2 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$ trong đó

β_{i} = α_{i} - 1 / 2 \sim U (- 1 / 2, 1 / 2)

$\beta_i = \alpha_i - 1/2 \sim \mathcal U(-1/2,1/2)$ . Sau đó, với mỗi

cố định

x

$x$ , hai số hạng đầu tiên xác định hàm mật độ hình thang và số hạng cuối chỉ là phần bù trung bình. Để xác định mật độ hình thang, chúng ta chỉ cần xem xét

x \in [0, π / 2)

$x \in [0,\pi/2)$ .

— Đức hồng y

Số này có thể được thực hiện đơn giản bằng cách sử dụng quant = function(n,p,x) return( quantile(runif(n)*sin(x)+runif(n)*cos(x),p) )và quant(100000,0.75,1).

Vấn đề này có thể nhanh chóng được giảm xuống thành một trong việc tìm ra lượng tử của phân bố hình thang .

Hãy để chúng tôi viết lại quy trình dưới dạng trong đó và là các biến ngẫu nhiên iid ; và, theo tính đối xứng, điều này có phân phối biên tương tự như quá trình Hai thuật ngữ đầu tiên xác định mật độ hình thang đối xứng

P (x) = U_{1} \cdot \frac{1}{2} \sin x + U_{2} \cdot \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

\bar{P} (x) = U_{1} \cdot | \frac{1}{2} \sin x | + U_{2} \cdot | \frac{1}{2} \cos x | + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) .

$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$ vì đây là tổng của hai biến ngẫu nhiên thống nhất trung bình bằng 0 (nói chung, với các độ rộng nửa khác nhau). Thuật ngữ cuối cùng chỉ dẫn đến một bản dịch của mật độ này và lượng tử là tương đương với bản dịch này (nghĩa là lượng tử của phân phối dịch chuyển là lượng tử dịch chuyển của phân phối trung tâm).

Số lượng của một phân phối hình thang

Đặt trong đó và là các phân phối độc lập và . Giả sử không mất tính tổng quát mà . Sau đó, mật độ của được hình thành bằng cách xác định mật độ của và . Đây có thể dễ dàng thấy là một hình thang có các đỉnh , , và . $Y = X_1 + X_2$ $X_1$ $X_2$ $\mathcal U(-a,a)$ $\mathcal U(-b,b)$ $a \geq b$ $Y$ $X_1$ $X_2$ $(-a-b,0)$ $(-a+b,1/2a)$ $(a-b,1/2a)$ $(a+b,0)$

Định lượng phân phối của , với mọi , do đó, Theo tính đối xứng, với , ta có . $Y$ $p < 1/2$

q (p) := q (p; a, b) = {\begin{cases} \sqrt{8 a b p} - (a + b), & p < b / 2 a \\ (2 p - 1) a, & b / 2 a \leq p \leq 1 / 2 . \end{cases}

$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$

p > 1 / 2

$p > 1/2$

q (p) = - q (1 - p)

$q(p) = - q(1-p)$

Quay lại vụ án

Với , trên, chúng tôi đặt và và nhận và trêncác vai trò đảo ngược. Tương tự, với $p < 1/2$ $|\sin x| \geq |\cos x|$ $a = |\sin x|/2$ $b=|\cos x|/2$

q_{x} (p) = q (p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

| \sin x | < | \cos x |

$|\sin x| < |\cos x|$

p \geq 1 / 2

$p \geq 1/2$

q_{x} (p) = - q (1 - p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

Các lượng tử

Dưới đây là hai bản đồ nhiệt. Đầu tiên hiển thị các lượng tử phân phối cho lưới chạy từ đến . Các Phối cho xác suất kết hợp với mỗi quantile. Màu sắc biểu thị giá trị của lượng tử với màu đỏ sẫm biểu thị các giá trị rất lớn (dương) và màu xanh đậm biểu thị các giá trị âm lớn. Do đó, mỗi dải dọc là một biểu đồ lượng tử (cận biên) liên kết với . $P(x)$ $x$ $0$ $2\pi$ $y$ $p$ $P(x)$

Số lượng như là một hàm của x

Bản đồ nhiệt thứ hai dưới đây cho thấy bản thân các lượng tử, được tô màu bởi xác suất tương ứng. Ví dụ, màu đỏ sẫm tương ứng với và màu xanh đậm tương ứng với và . Cyan là khoảng và . Điều này rõ ràng hơn cho thấy sự hỗ trợ của từng phân phối và hình dạng. $p = 1/2$ $p=0$ $p=1$ $p=1/4$ $p=3/4$

Âm mưu lượng tử

Một số Rmã mẫu

Hàm qprocdưới đây tính hàm lượng tử của cho cho . Nó sử dụng tổng quát hơn để tạo ra các lượng tử. $P(x)$ $x$ qtrap

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
}

Dưới đây là một thử nghiệm với đầu ra tương ứng.

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924

— hồng y
nguồn

Tôi ước tôi có thể nâng cao hơn nữa. Đây là lý do tôi thích trang web này: sức mạnh của chuyên môn hóa. tôi không biết về sự phân bố hình thang. Nó sẽ khiến tôi mất một thời gian để tìm ra điều này. Hoặc tôi sẽ phải giải quyết việc sử dụng Gaussian thay vì Đồng phục. Nhưng dù sao, nó thật tuyệt vời.

— dùng603