Định lý giới hạn trung tâm của người Việt cho tổng trọng số của các biến ngẫu nhiên tương quan

Tôi đang đọc một bài báo tuyên bố rằng

$$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$$ (tức là Biến đổi Fourier rời rạc , DFT) bởi CLT có xu hướng biến ngẫu nhiên gaussian (phức tạp). Tuy nhiên, tôi biết điều này không đúng nói chung. Sau khi đọc lập luận (ngụy biện) này, tôi đã tìm kiếm trên mạng và tìm thấy bài báo năm 2010 này của Peligrad & Wu , nơi họ chứng minh rằng đối với một số quy trình đứng yên, người ta có thể tìm thấy "định lý CLT".

Câu hỏi của tôi là: bạn có bất kỳ tài liệu tham khảo nào khác cố gắng giải quyết vấn đề tìm phân phối giới hạn của DFT của một chuỗi được lập chỉ mục nhất định (cả bằng mô phỏng hoặc lý thuyết) không? Tôi đặc biệt quan tâm đến tốc độ hội tụ (tức là tốc độ hội tụ DFT) đưa ra một số cấu trúc hiệp phương sai cho trong bối cảnh phân tích chuỗi thời gian, hoặc các dẫn xuất / ứng dụng cho chuỗi không cố định.$X_j$

Trong "Lý thuyết và phân tích dữ liệu chuỗi thời gian" của David Brillinger, 1975 Holt, Rinehart và Winston Publishers trang 94 Theroem 4.4.1 trong một số điều kiện nhất định, biến đổi phạm vi rời rạc cho một chuỗi có giá trị r ở tần số λ (N) là độc lập không có triệu chứng biến thiên phức tạp thứ nguyên với vectơ trung bình 0 trong đó λ (N) = 2π s (N) / N. Đây là một định lý rất quan trọng trong việc xây dựng các ước tính cho mật độ phổ của chuỗi thời gian đứng yên.$_j$$_j$$_j$