Xác suất sau có thể> 1?

Trong công thức của Bayes:

P (x | a) = \frac{P (a | x) P (x)}{P (a)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

xác suất sau vượt quá 1 không? $P(x|a)$

Tôi nghĩ rằng có thể nếu ví dụ, giả sử rằng và và . Nhưng tôi không chắc về điều này, bởi vì điều đó có nghĩa gì với một xác suất lớn hơn một? $0 < P(a) < 1$ $P(a) < P(x) < 1$ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$

probability bayesian conditional-probability

— Thomas Moore
nguồn

Người ta phải chính xác trong việc xác định ký hiệu. Không rõ đại diện cho cái gì . Nếu là (a) phân phối xác suất (trong trường hợp và là tập hợp) hoặc (b) một hàm khối lượng trên một không gian riêng biệt, thì các câu trả lời bạn đã có về cơ bản là chính xác. Nếu được hiểu là hàm mật độ, thì điều đó không đúng với . Lý do cho nitpicking là cả ba loại chức năng đều thỏa mãn quy tắc Bayes. Ký hiệu thường dành cho phân phối, nhưng sử dụng các ký tự chữ thường cho các đối số cho thấy mật độ.

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

a

$a$

x

$x$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

— anh chàng

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ nên xác suất sau không thể vượt quá . (Mật độ sau là một vấn đề khác - nhiều phân phối liên tục có mật độ vượt quá cho một số giá trị)

1

$1$

1

$1$

— Henry

Nếu hậu thế được tính vượt quá một, bạn đã mắc lỗi ở đâu đó.

— Emil M Friedman

@EmilMFriedman, câu trả lời của bạn không rõ ràng (và, vì lý do đó, có khả năng gây hại), vì nó không cho biết liệu nó có đề cập đến xác suất hoặc mật độ

— whuber

Rào cản thống nhất trong xác suất có thể và đã bị phá vỡ. Xem bài đăng của tôi AT stats.stackexchange.com/questions/4220/ .

— Mark L. Stone

Câu trả lời:

Các điều kiện giả định không giữ - không bao giờ có thể đúng là theo định nghĩa xác suất có điều kiện : $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— khol
nguồn

Không, không thể xác suất sau vượt quá một. Điều đó sẽ vi phạm các tiên đề định mức của lý thuyết xác suất. Sử dụng quy tắc xác suất có điều kiện, bạn phải có:

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

Điều này có nghĩa là bạn không thể có các điều kiện bất bình đẳng mà bạn đã chỉ định. (Ngẫu nhiên, đây là một câu hỏi hay: thật tốt khi bạn đang nghiên cứu các luật xác suất tìm kiếm vấn đề. Nó cho thấy rằng bạn đang khám phá những vấn đề này với mức độ nghiêm ngặt hơn so với hầu hết các sinh viên.)

Một điểm bổ sung: Đáng để đưa ra một điểm bổ sung về tình huống này, đó là về mức độ ưu tiên logic của các đặc điểm khác nhau của xác suất. Hãy nhớ rằng lý thuyết xác suất bắt đầu bằng một tập hợp tiên đề đặc trưng cho việc đo lường xác suất thực sự là gì. Từ các tiên đề này, chúng ta có thể rút ra "quy tắc xác suất" là các định lý có nguồn gốc từ các tiên đề. Các quy tắc xác suất này phải phù hợp với các tiên đề để có hiệu lực. Nếu bạn từng thấy rằng một quy tắc xác suất dẫn đến mâu thuẫn với một trong các tiên đề (ví dụ: xác suất của không gian mẫu lớn hơn một), điều này sẽ không làm sai lệch tiên đề - nó sẽ làm sai quy tắc xác suất . Do đó, ngay cả khi đó là trường hợp quy tắc của Bayes có thểdẫn đến xác suất sau lớn hơn một (không có), điều này không có nghĩa là bạn có thể có xác suất sau lớn hơn một; điều đó chỉ đơn giản có nghĩa là quy tắc của Bayes không phải là quy tắc xác suất hợp lệ.

— Phục hồi
nguồn

Tử số cuối cùng có nên là P (x) không?

— BallpointBen

Vẫn hiển thị P (a) cho tôi

— BallpointBen

Nó được coi là P (a) trong tử số. Sự bất bình đẳng đang cho OP thấy rằng anh ta không thể có P (a | x)> P (a) / P (x) như anh ta đã chỉ định trong câu hỏi của mình.

— Phục hồi lại

Công thức Bayes không thể đưa ra các giá trị cho vượt quá . Một cách trực quan để thấy điều này là thể hiện thông qua định luật tổng xác suất là cho rằng cho thấy tử số chỉ là một trong các thuật ngữ trong tổng trong mẫu số, và do đó phân số không thể vượt quá về giá trị. $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— Dilip Sarwate
nguồn

+1 đây là bằng chứng dễ nhất với tôi.

— Mehrdad

@Mehrdad Cảm ơn. Các câu trả lời khác về cơ bản chứng minh rằng xác suất có điều kiện không thể vượt quá thông qua kết quả mà không thể vượt quá vì và vì vậy nó phải được rằng , và có rất ít mối quan hệ cho mỗi gia nhập công thức Bayes' (vì nó được sử dụng trong thống kê để xác suất sau lấy được từ xác suất trước ).

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$

1

$1$

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$

P (A)

$P(A)$

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$

— Dilip Sarwate