Giá trị kỳ vọng và phương sai của hàm theo dõi


13

Đối với các biến ngẫu nhiên và ma trận bán xác định dương A : Có biểu thức đơn giản hóa cho giá trị mong đợi, E [ T r ( X T A X ) ] và phương sai, V a r [ T r ( X T A X ) ] ? Xin lưu ý rằng A không phải là một biến ngẫu nhiên.XRhAE[Tr(XTAX)]Var[Tr(XTAX)]A

Câu trả lời:


14

XTAX là vô hướng nên

Tr(XTAX)=XTAX=Tr(AXXT)
sao cho
E(XTAX)=E(Tr(AXXT))=Tr(E(AXXT))=Tr(AE(XXT))
.

Ở đây chúng tôi đã sử dụng rằng dấu vết của một sản phẩm là bất biến dưới sự hoán vị theo chu kỳ của các yếu tố và dấu vết đó là một toán tử tuyến tính, do đó, bắt đầu với kỳ vọng. Phương sai là một tính toán nhiều tham gia nhiều hơn, mà cũng cần một số khoảnh khắc cao hơn của X . Tính toán đó có thể được tìm thấy trong Seber: "Phân tích hồi quy tuyến tính" (Wiley)


Tại sao ? Tr(XTAX)=XTAX
Aqqqq

1
Bởi vì là một sốXTAX
kjetil b halvorsen
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.