Giá trị kỳ vọng và phương sai của hàm theo dõi

Đối với các biến ngẫu nhiên và ma trận bán xác định dương A : Có biểu thức đơn giản hóa cho giá trị mong đợi, E [ T r ( X T A X ) ] và phương sai, V a r [ T r ( X T A X ) ] ? Xin lưu ý rằng A không phải là một biến ngẫu nhiên.$X \in \mathbb{R}^h$$A$$\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$$Var[Tr(X^TAX)]$$A$

Vì $X^TAX$ là vô hướng nên

Ở đây chúng tôi đã sử dụng rằng dấu vết của một sản phẩm là bất biến dưới sự hoán vị theo chu kỳ của các yếu tố và dấu vết đó là một toán tử tuyến tính, do đó, bắt đầu với kỳ vọng. Phương sai là một tính toán nhiều tham gia nhiều hơn, mà cũng cần một số khoảnh khắc cao hơn của $X$ . Tính toán đó có thể được tìm thấy trong Seber: "Phân tích hồi quy tuyến tính" (Wiley)