Bài kiểm tra Mantel có thể được mở rộng thành ma trận bất đối xứng không?

Phép thử Mantel thường được áp dụng cho ma trận khoảng cách / ma trận đối xứng. Theo tôi hiểu, một giả định của thử nghiệm là biện pháp được sử dụng để xác định sự khác biệt ít nhất phải là một nửa số liệu (đáp ứng các yêu cầu tiêu chuẩn của một số liệu nhưng không phải là bất đẳng thức tam giác).

Giả định về tính đối xứng có thể được nới lỏng (đưa ra một số liệu trước) không? Có thể áp dụng thử nghiệm hoán vị trong trường hợp này, sử dụng ma trận đầy đủ?

Nó không cần phải được gia hạn. Thử nghiệm ban đầu của Mantel, như được trình bày trong bài báo năm 1967 của Mantel , cho phép các ma trận bất đối xứng. Nhớ lại rằng thử nghiệm này so sánh hai khoảng cách ma trận X và Y .$n\times n$$X$$Y$

Tại thời điểm này, chúng tôi có thể dự đoán một sửa đổi về thống kê của chúng tôi sẽ đơn giản hóa các quy trình thống kê sẽ được phát triển dưới đây. Việc sửa đổi là loại bỏ hạn chế và chỉ thay thế nó bằng hạn chế i ≠ j . Trong đó X i j = X j i và Y i j = Y j i , hiệu quả của việc sửa đổi chỉ đơn giản là nhân đôi chính xác giá trị của tổng. Tuy nhiên, các quy trình sau đó được phát triển là phù hợp ngay cả khi các mối quan hệ khoảng cách không đối xứng, nghĩa là khi X có thể$i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ và Y i j ≠ Y j i ; một trường hợp cụ thể sau đó được bảo hiểm là trong đó X i j =- X j i , Y i j =- Y j i ...$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(trong phần 4; nhấn mạnh thêm).

Đối xứng dường như là một điều kiện nhân tạo trong nhiều phần mềm, chẳng hạn như ade4gói cho R, sử dụng các đối tượng của lớp "dist" để lưu trữ và thao tác ma trận khoảng cách. Các hàm thao tác giả định khoảng cách là đối xứng. Vì lý do này, bạn không thể áp dụng mantel.rtestquy trình của nó cho ma trận bất đối xứng - nhưng đó hoàn toàn là một giới hạn phần mềm, không phải là một thuộc tính của chính thử nghiệm.

Bản thân bài kiểm tra dường như không yêu cầu bất kỳ tính chất nào của ma trận. Rõ ràng (nhờ tham chiếu rõ ràng đến các tham chiếu đối xứng ở cuối đoạn trước), thậm chí không cần các mục trong hoặc Y là dương. Nó chỉ là một phép thử hoán vị sử dụng một số phép đo tương quan của hai ma trận (được coi là vectơ với n 2 phần tử) làm thống kê kiểm tra.$X$$Y$$n^2$

Về nguyên tắc chúng ta có thể liệt kê các hoán vị có thể có của dữ liệu của chúng tôi, tính Z [thống kê kiểm tra] cho mỗi hoán vị và thu được phân phối null của Z mà giá trị quan sát được của Z có thể được đánh giá.$n!$$Z$$Z$$Z$

[ ibid. ]

Trên thực tế, Mantel đã chỉ ra một cách rõ ràng rằng các ma trận không phải là ma trận khoảng cách và ông nhấn mạnh tầm quan trọng của khả năng này :

$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(Ví dụ nêu bất đẳng thức tam giác.)

$n$$n-1$

$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

Tóm lại, ngay từ đầu, mọi một trong các tiên đề số liệu đã được xem xét và từ chối một cách rõ ràng là không cần thiết cho bài kiểm tra:

1. "Khoảng cách" có thể là âm.

2. "Khoảng cách" giữa một đối tượng và chính nó có thể là khác không.

3. Bất đẳng thức tam giác không cần giữ.

4. "Khoảng cách" không cần phải đối xứng.

$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

Đây là một ví dụ về thử nghiệm trong R. Cho hai ma trận khoảng cách xvà y, nó trả về một mẫu phân phối hoán vị (như một vectơ của các giá trị của thống kê kiểm tra). Nó không yêu cầu xhoặc ycó bất kỳ thuộc tính cụ thể nào cả. Chúng chỉ cần có cùng kích thước của ma trận vuông.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}