Định lý Mercer có hoạt động ngược lại không?

Một đồng nghiệp có chức năng và cho mục đích của chúng tôi, đó là một hộp đen. Hàm đo độ tương tự của hai đối tượng. $s$ $s(a,b)$

Chúng tôi biết chắc chắn rằng có các tính chất này: $s$

Điểm tương đồng là các số thực từ 0 đến 1, đã bao gồm.
Chỉ các đối tượng tự đồng nhất mới có điểm 1. Vì vậy hàm ý và ngược lại. $s(a,b)=1$ $a=b$
Chúng tôi được đảm bảo rằng . $s(a,b) = s(b,a)$

Bây giờ anh ấy muốn làm việc với các thuật toán yêu cầu khoảng cách làm đầu vào và phụ thuộc vào đầu vào thỏa mãn các tiên đề của khoảng cách.

Tôi nghĩ rằng chúng ta có thể coi các điểm tương tự như thể chúng là kết quả của hạt nhân RBF với một khoảng cách nào đó (nó có thể là một chỉ tiêu Euclide hoặc một khoảng cách khác), tức là chúng ta có thể sắp xếp lại bằng đại số và cho rằng điểm tương tự đề cập đến hạt nhân RBF cho một cặp điểm trong một số hệ tọa độ (chưa biết).

\begin{aligned} s (x_{i}, x_{j}) & = \exp (- \frac{d (m_{i}, m_{j})^{2}}{r}) \\ \sqrt{- r \log s (x_{i}, x_{j})} & = d (m_{i}, m_{j}) \end{aligned}

$\begin{align} s(x_i,x_j) &= \exp\left(-\frac{d( m_i, m_j)^2}{r}\right) \\ \sqrt{-r \log s(x_i,x_j) } &= d(m_i,m_j) \\ \end{align}$

Trong đó là một số vectơ không xác định và là đối tượng quan tâm và là khoảng cách. $m_\alpha \in \mathbb{R}^n$ $x_\alpha$ $d$

Các tính chất rõ ràng làm việc, về mặt tôn trọng các tiên đề khoảng cách. Các kết quả phải không âm và khoảng cách chỉ bằng 0 đối với các đối tượng giống hệt nhau. Nhưng không rõ ràng rằng tập hợp hoàn cảnh khá chung này đủ để ám chỉ rằng bất đẳng thức tam giác được tôn trọng.

Mặt khác, điều này nghe có vẻ điên rồ.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là "không có tồn tại một như vậy mà cho một số khoảng cách số liệu cho các thuộc tính trên , và đó là những gì ?" $f$ $f(s(a,b))=d(a,b)$ $d$ $s$ $f$

Nếu không tồn tại trong các trường hợp chung này trên , thì có thêm một bộ yêu cầu nào cho tồn tại không? $f$ $s$ $f$

— Sycorax nói phục hồi Monica
nguồn

Lưu ý rằng ngay cả khi bạn được cung cấp tập hợp các khoảng cách cặp thỏa mãn các tiên đề về khoảng cách, không đảm bảo rằng có một không gian Euclide với các điểm nhận ra các khoảng cách này. Việc nhúng như vậy không phải lúc nào cũng có thể. Xem ví dụ math.stackexchange.com/questions/1000006 .

d (a, b)

$d(a,b)$

— amip nói phục hồi Monica

Đây là một chủ đề rất thú vị! Cảm ơn vì đã chia sẻ nó. Đó không phải là ý định của tôi để giới hạn bản thân đến một khoảng cách cụ thể. (Vì, di chuyển theo hướng ngược lại, người ta có thể sử dụng hạt nhân RBF với khoảng cách không phải là Euclide.)

— Sycorax nói rằng Rebstate Monica

Vì vậy, câu hỏi của bạn chỉ là làm thế nào để chuyển đổi thành sao cho thỏa mãn bất đẳng thức tam giác? Liệu ma trận khoảng cách này có thể nhúng trong không gian Euclide hay không, không quan trọng đối với bạn. Chính xác? Trực giác của tôi là đối với một người tùy tiện điều đó là không thể.

s (a, b)

$s(a,b)$

d (a, b) = f (s (a, b))

$d(a,b)=f(s(a,b))$

d

$d$

s

$s$

— amip nói phục hồi Monica

Chính xác. Tôi nghi ngờ rằng điều này là không thể, ít nhất là không có những hạn chế bổ sung đối với .

s

$s$

— Sycorax nói phục hồi Monica

f : f (x) = I_{x > 0}

$f: f(x) = I_{x>0}$ luôn dẫn đến số liệu rời rạc ( en.wikipedia.org/wiki/Discittle_space ), nhưng điều này có lẽ không có ý định nên một số điều kiện nên được thêm vào (?)

— Juho Kokkala

Câu trả lời:

Định lý Mercer có hoạt động ngược lại không?

Không phải trong mọi trường hợp.

Wikipedia: "Trong toán học, phân tích chức năng cụ thể, định lý Mercer là biểu diễn của hàm xác định dương đối xứng trên một hình vuông dưới dạng tổng của một chuỗi các hàm sản phẩm hội tụ. Định lý này, được trình bày trong (Mercer 1909), là một trong những Đây là một công cụ lý thuyết quan trọng nhất trong công trình của James Mercer. Nó là một công cụ lý thuyết quan trọng trong lý thuyết phương trình tích phân, nó được sử dụng trong lý thuyết không gian Hilbert của các quá trình ngẫu nhiên, ví dụ như định lý Karhunen Nott Loève, và nó cũng được sử dụng để mô tả một hạt nhân bán xác định dương đối xứng.

Đó là " ánh xạ nhiều đến một " trên không gian Hilbert . - một sự đơn giản hóa quá mức sẽ là mô tả nó như một hàm băm hoặc tổng kiểm tra mà bạn có thể kiểm tra đối với một tệp để xác định danh tính hay không.

Giải thích thêm về kỹ thuật: Định lý phân rã

"Trong toán học, định lý phân rã là kết quả của lý thuyết đo lường và lý thuyết xác suất. Nó định nghĩa chặt chẽ ý tưởng về một " hạn chế "không tầm thường của một biện pháp đối với một tập hợp con số 0 của không gian đo trong câu hỏi. Nó có liên quan đến sự tồn tại của các biện pháp xác suất có điều kiện. Theo một nghĩa nào đó, "sự tan rã" là quá trình ngược lại với việc xây dựng một biện pháp sản phẩm. "

Xem thêm: " Định lý Fubini từ Tonelli ", " Mất bản lề ", " Hàm mất " và " Hạt nhân tốt như thế nào khi được sử dụng như một thước đo tương tự? " (Tháng 6 năm 2007) bởi Nathan Srebro, bản tóm tắt:

" Tóm tắt. Gần đây, Balcan và Blum đã đề xuất một lý thuyết học tập dựa trên các hàm tương tự chung, thay vì các hạt nhân bán xác định dương. Chúng tôi nghiên cứu khoảng cách giữa các đảm bảo học tập dựa trên học tập dựa trên nhân và những điều có thể đạt được bằng cách sử dụng hạt nhân là một chức năng tương tự, được mở bởi Balcan và Blum. Chúng tôi cung cấp một cải tiến đáng kể ràng buộc về chức năng của hạt nhân tốt như thế nào khi được sử dụng như một chức năng tương tự, và cũng mở rộng kết quả cho việc mất bản lề có liên quan thực tế hơn sau đó là tỷ lệ không một lỗi. Hơn nữa, chúng tôi cho thấy ràng buộc này là chặt chẽ, và do đó xác định rằng trên thực tế có một khoảng cách thực sự giữa khái niệm lề dựa trên nhân truyền thống và khái niệm dựa trên tương tự mới hơn. ".

Một đồng nghiệp có chức năng và cho mục đích của chúng tôi, đó là một hộp đen. $s$

Xem: hạt nhân và độ tương tự (tính bằng R)

Đó là một hộp đen để bạn không biết chắc chắn hạt nhân nào được sử dụng, nếu đó là hạt nhân và bạn không biết chi tiết về việc triển khai hạt nhân một khi bạn nghĩ bạn biết đó là hạt nhân nào. Xem: Phương trình của rbfKernel trong kernlab có khác với tiêu chuẩn không? .

Mặt khác, điều này nghe có vẻ điên rồ.

Đó là nhanh chóng và hiệu quả, trong một tập hợp hạn chế. Giống như một cái búa, nếu bạn mang theo một cái búa với bạn, mọi người sẽ gọi bạn là điên à?

"Các phương thức kernel có tên của chúng là sử dụng các hàm kernel, cho phép chúng hoạt động trong một không gian tính năng ẩn, chiều cao mà không bao giờ tính toán tọa độ của dữ liệu trong không gian đó, mà chỉ bằng cách tính toán các sản phẩm bên trong giữa các hình ảnh của tất cả các cặp dữ liệu trong không gian đặc trưng. Thao tác này thường là tính toán rẻ hơn so với tính toán rõ ràng của các tọa độ. cách tiếp cận này được gọi là "lừa hạt nhân". chức năng kernel đã được giới thiệu cho dữ liệu chuỗi, đồ thị, văn bản, hình ảnh, như cũng như các vectơ. ".

Bài học: Bạn (đôi khi) có được những gì bạn phải trả cho.

$f$ $f(s(a,b))=d(a,b)$ $d$ $s$ $f$

Nhiều người, xem các liên kết ở trên, " Các hàm nhân phổ biến ", RBF và đây là một ví dụ (đắt tiền): " Một thước đo khoảng cách tỷ lệ khả năng cho sự tương đồng giữa chuỗi thời gian biến đổi Fourier " (2005), của Janacek, Bagnall và Powell.

Nếu không tồn tại trong các trường hợp chung này trên , thì có thêm một bộ yêu cầu nào cho $f$ $s$ $f$

Các không gian và phương pháp khác nhau có thể nhắm mục tiêu so sánh (và phân rã) tốt hơn các vấn đề cụ thể, có nhiều phương pháp cho riêng không gian Hilbert .

Có, danh sách rất lớn, xem các liên kết ở trên và (ví dụ): Tái tạo không gian Hilbert kernel .

— Cướp
nguồn

-1

Nhưng không rõ ràng rằng tập hợp hoàn cảnh khá chung này đủ để ám chỉ rằng bất đẳng thức tam giác được tôn trọng.

$d(a, b) = 1 - s(a, b)$ $x, y, z$ $d(x, y) = \frac{1}{3}$ $d(y, z) = \frac{1}{3}$ $d(x, z) = 1$ $d(x, z) > d(x, y) + d(y, z)$

— Nhà quang học học
nguồn

Tôi không thấy điều này chứng tỏ điều gì.

— amip nói phục hồi Monica

d

$d$

f (α) = 1 - α

$f(\alpha)=1-\alpha$

s

$s$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

m

$m$

s

$s$

d

$d$

f

$f$

m

$m$

1 - s (a, b)

$1-s(a,b)$

x_{α}

$x_\alpha$

m_{α}

$m_\alpha$

s

$s$