Xấp xỉ bình thường của phân phối đa thức là gì?

Nếu có nhiều xấp xỉ có thể, tôi đang tìm kiếm một cơ bản nhất.

Bạn có thể ước chừng nó với phân phối chuẩn nhiều biến số giống như cách phân phối nhị thức được xấp xỉ bằng phân phối chuẩn đơn biến. Kiểm tra các yếu tố của lý thuyết phân phối và phân phối đa cực trang 15-16-17.

Đặt là vectơ xác suất của bạn. Thì vectơ trung bình của phân phối chuẩn nhiều biến là . Ma trận hiệp phương sai là ma trận đối xứng . Các phần tử đường chéo thực sự là phương sai của 's; tức là , . Phần tử đường chéo trong hàng thứ i và cột thứ j là , trong đó không bằng .$P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$$\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

Mật độ được đưa ra trong câu trả lời này là suy biến, và vì vậy tôi đã sử dụng như sau để tính mật độ kết quả từ phép tính gần đúng thông thường:

Có một định lý mà nói cho một biến ngẫu nhiên , cho một chiều vector với và , đó;$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$$m$$p$$\sum_i p_i = 1$$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

cho lớn , cho;$n$

• một vectơ với ;$u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• các biến ngẫu nhiên cho và;$Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• một ma trận trực giao với cột cuối cùng .$Q$$u$

Điều đó có nghĩa là, với một số sắp xếp lại, chúng ta có thể tạo ra phân phối chuẩn đa biến chiều cho các thành phần đầu tiên của (là thành phần thú vị duy nhất vì là tổng của các thành phần khác).$m-1$$m-1$$X$$X_m$

Giá trị phù hợp của ma trận là với - tức là một phép chuyển đổi Householder cụ thể.$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

Nếu chúng tôi giới hạn phía bên trái ở các hàng đầu tiên và giới hạn ở các hàng và đầu tiên của nó (lần lượt biểu thị các và ):$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

cho lớn , ở đâu;$n$

• $\hat{u}$ biểu thị các điều khoản đầu tiên của ;$m-1$$u$
• giá trị trung bình là , và;$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• ma trận hiệp phương sai với .$n \Sigma = n A A^T$$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

Phía bên phải của phương trình cuối cùng đó là mật độ không suy biến được sử dụng trong tính toán.

Như mong đợi, khi bạn cắm mọi thứ vào, bạn sẽ nhận được ma trận hiệp phương sai sau:

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

cho , đó là chính xác những ma trận hiệp phương sai trong câu trả lời ban đầu giới hạn đầu tiên hàng và cột.$i,j = 1, \ldots, m-1$$m-1$$m-1$

Mục blog này là điểm khởi đầu của tôi.