Phân phối nhị thức trong đó số lượng thí nghiệm được phân phối nhị thức

Trong thiết lập của tôi,

Có thử nghiệm. $m$
Mỗi thử nghiệm có một xác suất được chọn. $q$
$N \leq m$ là số lượng thử nghiệm được chọn

$\to N \sim Bin (q, m)$ $\rightarrow N \sim \text{Bin}(q, m)$
Đối với mỗi thử nghiệm được chọn, xác suất thành công là $N$ $p$
$K\leq N$ là số lượng thử nghiệm thành công
$\to (K | N) \sim Bin (p, N)$ $\rightarrow (K|N) \sim \text{Bin}(p, N)$

Tôi đã nhận được và $E[K] = qmp$ $Var(K)= qmp(1-p) + p^2 m q(1-q)$

Tuy nhiên tôi bị mắc kẹt trong đạo hàm của . Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ sự giúp đỡ để giải quyết điều này. $cov(K, N)$

binomial random-variable covariance

— Pierre Cattin
nguồn

\begin{aligned} Cov (K, N) & = E Cov (K, N | N) + Cov (E K | N, E N | N) \\ = E 0 + Cov (p N, N) \\ = 0 + p Var (N) \\ = p m q (1 - q) . \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(K,N) &=E\operatorname{Cov}(K,N|N)+\operatorname{Cov}(EK|N,EN|N) \\&=E 0+\operatorname{Cov}(pN,N) \\&=0+p\operatorname{Var}(N) \\&=pmq(1-q). \end{align}$

— Tuleo
nguồn