Trực giác đằng sau công thức cho phương sai của tổng hai biến

Tôi biết từ các nghiên cứu trước đó rằng

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Tuy nhiên, tôi không hiểu tại sao lại như vậy. Tôi có thể thấy rằng hiệu ứng sẽ là 'đẩy lên' phương sai khi A và B đồng biến cao. Điều hợp lý là khi bạn tạo một hỗn hợp từ hai biến tương quan cao, bạn sẽ có xu hướng thêm các quan sát cao từ A với các quan sát cao từ B và các quan sát thấp từ A với các quan sát thấp từ B. Điều này sẽ có xu hướng tạo các giá trị cực cao và thấp trong biến tổng hợp, làm tăng phương sai của hỗn hợp.

Nhưng tại sao nó hoạt động để nhân hiệp phương sai với chính xác 2?

Câu trả lời đơn giản:

Phương sai liên quan đến một hình vuông:

$$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

Vì vậy, câu hỏi của bạn tập trung vào yếu tố 2 trong danh tính hình vuông:

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

Có thể hiểu một cách trực quan là sự phân rã diện tích hình vuông cạnh thành diện tích hình vuông nhỏ hơn của cạnh và , ngoài hai hình chữ nhật của cạnh và :a b a $(a+b)$$a$$b$$a$$b$

Câu trả lời liên quan nhiều hơn:

Nếu bạn muốn có một câu trả lời liên quan nhiều hơn về mặt toán học, hiệp phương sai là một dạng song tuyến, nghĩa là nó là tuyến tính trong cả hai đối số thứ nhất và thứ hai, điều này dẫn đến:

$$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$$

Trong dòng cuối cùng, tôi đã sử dụng thực tế là hiệp phương sai đối xứng:

$$Cov(A,B) = Cov(B,A)$$

Tóm lại:

Đó là hai vì bạn phải tính cả và .c o v ( B , A $cov(A,B)$$cov(B,A)$

Tập hợp các biến ngẫu nhiên là một không gian vectơ và nhiều thuộc tính của không gian Euclide có thể được tương tự với chúng. Độ lệch chuẩn hoạt động giống như độ dài và phương sai giống như độ dài bình phương. Độc lập tương ứng với trực giao, trong khi tương quan hoàn hảo tương ứng với phép nhân vô hướng. Do đó, phương sai của các biến độc lập tuân theo Định lý Pythagore: .
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

Nếu chúng có mối tương quan hoàn hảo, thì
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Lưu ý rằng điều này tương đương với
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

Nếu chúng không độc lập, thì chúng tuân theo một định luật tương tự như định luật cosin:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

Lưu ý rằng trường hợp chung là một trong số giữa độc lập hoàn toàn và tương quan hoàn hảo. Nếu và độc lập, thì bằng không. Vì vậy, các trường hợp chung là luôn luôn có hạn và hạn, và sau đó nó có một số biến thể trên hạn ; các biến tương quan càng nhiều, thuật ngữ thứ ba này sẽ càng lớn. Và đây chính xác là những gì là: đó là lần của và .$A$$B$$cov(A,B)$$var(A,B)$$var(A)$$var(B)$$2\sqrt{var(A)var(B)}$$2cov(A,B)$$2\sqrt{var(A)var(B)}$$r^2$$A$$B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

trong đó và$MeasureOfCorrelation = r^2$$PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

Đặt trong các điều khoản khác, nếu , thì$r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Do đó, tương tự như trong Định luật Cosines.$r^2$$cos$

Tôi sẽ nói thêm rằng những gì bạn đã trích dẫn không phải là định nghĩa của , mà là hệ quả của các định nghĩa về và . Vì vậy, câu trả lời cho lý do tại sao phương trình đó là phép tính được thực hiện bởi byouness . Câu hỏi của bạn thực sự có thể là lý do tại sao điều đó có ý nghĩa; không chính thức:$Var(A+B)$$Var$$Cov$

Bao nhiêu sẽ "thay đổi" tùy thuộc vào bốn yếu tố:$A+B$

1. Bao nhiêu sẽ tự thay đổi.$A$
2. Bao nhiêu sẽ tự thay đổi.$B$
3. Bao nhiêu sẽ thay đổi khi di chuyển xung quanh (hoặc thay đổi).$A$$B$
4. Bao nhiêu sẽ thay đổi khi di chuyển xung quanh.$B$$A$

Điều này đưa chúng ta đến vì là toán tử đối xứng.= V a r ( A ) + V a r ( B ) + 2 C o v (

$$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$$ C o $$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$$ $Cov$