Biểu diễn toán học của một thuật ngữ hiệu ứng ngẫu nhiên lồng nhau

Giả sử rằng một biến mức phụ thuộc $y$được đo ở cấp độ đơn vị (cấp 1) được lồng trong các đơn vị loại (cấp ) và các đơn vị loại được lồng trong các cấp loại (cấp ).$A$$2$$A$$B$$3$

Giả sử rằng tôi phù hợp với công thức sau:

y ~ "FIXED EFFECTS [my syntax]" + (1 + x | B/A)

Trong đó là một số dự đoán ở cấp .$x$$1$

Hiểu biết của tôi là biểu diễn toán học của một công thức như vậy là sau đây. Nó có đúng không?

---

Trong phần tiếp theo, là sản phẩm của các th điểm dữ liệu trong đơn vị của lồng trong đơn vị của . Điểm dữ liệu này có một yếu tố dự đoán tương ứng .$y_{b,a,i}$$i$$a$$A$$b$$B$$x_{b,a,i}$

$$y_{b,a,i} = \text{“fixed effects''} + u_b + u_{b,1,a} + (\beta_b + \beta_{b,1,a})x$$

Ở đâu

$$u_b \sim N(0, \sigma_B)$$

$$u_{b,1,a} \sim N(0, \sigma)$$

$$\beta_b \sim N(0, \rho_B)$$

$$\beta_{b,a} \sim N(0, \rho)$$

Đó là, là một thuật ngữ độ lệch chuẩn thay đổi theo cấp độ . Mặt khác, với bất kỳ , một đơn vị nào ở cấp độ và , một đơn vị chứa ở cấp độ , thì thuật ngữ độ lệch chuẩn cho là$\sigma_B$$3$$b$$3$$a$$2$$a$$\sigma$. Đó là,$\sigma$ là hằng số cho mọi cấp độ $2$ các đơn vị.

---

Điều này có đúng không (tôi dựa trên lý do này bằng cách suy ra từ một bài thuyết trình liên quan ở trang 136 của Mô hình hỗn hợp tuyến tính: Hướng dẫn thực hành sử dụng phần mềm thống kê))? Nếu điều này là chính xác, thì có cách nào để thực hiện$\sigma$ phụ thuộc vào đơn vị cấp nào $A$ điểm dữ liệu thuộc về.

Tôi nghĩ rằng bạn đang thiếu một hiệu ứng ngẫu nhiên trong công thức của bạn. Phản ứng$y_{iab}$ phụ thuộc vào các hiệu ứng cố định + một thuật ngữ lỗi với 5 thành phần.

$$\varepsilon_{iab} + \varepsilon_{a|b} + \varepsilon_{b} + x\beta_{a\mid b} + x\beta_b$$

Theo thứ tự, từ trái sang phải, các thành phần này có các cách hiểu sau:

1. Lỗi thuần túy (cá nhân cho mỗi quan sát)
2. Sự thay đổi do các mức A khác nhau trong một mức B chung
3. Sự thay đổi do mức độ B khác nhau
4. Làm thế nào A ảnh hưởng đến độ dốc của $x$ mối quan hệ cho mức B chung
5. Mức độ B ảnh hưởng đến độ dốc của $x$

Bạn không thể cho phép $\sigma$thay đổi theo mức độ A, bởi vì mô hình sẽ không còn nhận dạng được nữa (quá nhiều tham số đều thực hiện cùng một công việc). Trừ khi, biến thể phụ thuộc vào các trọng số đã biết (như số lượng nhóm) - trong trường hợp đó, bạn vẫn sẽ có cùng số lượng tham số. Hãy nhớ rằng chúng tôi không biết các giá trị của các mức A (hoặc B), nhưng chúng tôi ước tính chúng theo giả định của phương sai cố định. Chúng ta cần phải giả định một số loại thường xuyên ở đây.

Chỉnh sửa: @Amoeba đặt câu hỏi này và tôi có thể đã nhầm lẫn về khả năng của các giá trị khác nhau của phương sai của các quan sát. Tôi thực sự đã đọc sai câu hỏi của OP. Tôi đã nghĩ về phương sai của$\alpha$hiệu ứng ẩn, và không phải là lỗi thuần túy của các quan sát riêng lẻ. Do các mức A và B là ngẫu nhiên, có lẽ, các phương sai cũng nên được coi là các hiệu ứng ngẫu nhiên, điều đó có nghĩa là một số loại chính quy nên được áp dụng trong việc ước tính chúng, như trường hợp với các tác động ngẫu nhiên của chính các cấp A và B.

Nó trở nên tồi tệ hơn. Giá trị của mô hình hiệu ứng hỗn hợp là nó cho phép bạn hình thành các khoảng tin cậy cho các tình huống chưa được kiểm tra (Mức A và B không có trong mô hình), do đó bạn chắc chắn sẽ cần phải phân phối các phương sai và điều chỉnh khoảng tin cậy của mình cho phù hợp . Nghe có vẻ khá xấu xí.

Và chắc chắn, bạn sẽ cần rất nhiều dữ liệu để điều này hoạt động tốt, vì chúng ta đang nói về việc ước tính phương sai cũng như phương tiện.

Đối với thử nghiệm tiếng Wales, về cơ bản, đó là một loại bùn được áp dụng cho vấn đề được gọi là vấn đề BehDR-Fisher - vấn đề kiểm tra sự khác biệt của hai phương tiện khi phương sai không bằng nhau. Nếu bộ nhớ phục vụ, vấn đề là bạn không có đủ số liệu thống kê về kích thước cố định trên kích thước đó.

Đối với tôi, câu hỏi là tại sao vấn đề đó thậm chí phải thừa nhận một giải pháp có ý nghĩa. Nó thực sự có nghĩa gì khi so sánh có nghĩa là khi phương sai không bằng nhau? Hãy tưởng tượng hai mô hình xe hơi. Ô tô từ mẫu A thường có số lần sửa chữa hạn chế và có thể dự đoán được mỗi năm. Ô tô từ mô hình B đôi khi là chanh và đôi khi tuyệt vời. Có nghĩa gì khi so sánh chi phí sở hữu trung bình trong trường hợp này? Nhưng đó là những gì chúng ta đang nói về khi phương sai của các cấp được phép thay đổi. Nó thực sự có ý nghĩa như thế nào để so sánh có nghĩa là khi phương sai được phép thay đổi? Nó cho thấy bạn đang so sánh táo và cam.

Tài liệu tham khảo. Vì dường như bạn đang sử dụng R cho việc này, bạn có thể muốn đọc cuốn sách Các mô hình hiệu ứng hỗn hợp của Bates và Pinheiro trong S-plus , vì họ đã viết mã cho các gói nlme và lme4 của R. Cuốn sách đó đi vào tất cả các chi tiết bạn có thể cần. Chúng cho phép tương quan giữa các quan sát với mức độ chung.