Brain-teaser: Độ dài dự kiến của chuỗi iid tăng đơn điệu khi được rút ra từ phân phối [0,1] thống nhất là bao nhiêu?

Đây là một câu hỏi phỏng vấn cho một vị trí phân tích định lượng, được báo cáo ở đây . Giả sử chúng ta đang vẽ từ một phân phối thống nhất và các lần rút là iid, độ dài dự kiến của phân phối tăng đơn điệu là bao nhiêu? Tức là chúng ta dừng vẽ nếu bản vẽ hiện tại nhỏ hơn hoặc bằng bản vẽ trước. $[0,1]$

Tôi đã nhận được một vài thứ đầu tiên:

Pr (length = 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x_{1}} d x_{2} d x_{1} = 1 / 2

$\Pr(\text{length} = 1) = \int_0^1 \int_0^{x_1} \mathrm{d}x_2\, \mathrm{d}x_1 = 1/2$

Pr (length = 2) = \int_{0}^{1} \int_{x_{1}}^{1} \int_{0}^{x_{2}} d x_{3} d x_{2} d x_{1} = 1 / 3

$\Pr(\text{length} = 2) = \int_0^1 \int_{x_1}^1 \int_0^{x_2} \mathrm{d}x_3 \, \mathrm{d}x_2 \, \mathrm{d}x_1 = 1/3$

Pr (length = 3) = \int_{0}^{1} \int_{x_{1}}^{1} \int_{x_{2}}^{1} \int_{0}^{x_{3}} d x_{4} d x_{3} d x_{2} d x_{1} = 1 / 8

$\Pr(\text{length} = 3) = \int_0^1 \int_{x_1}^1 \int_{x_2}^1 \int_0^{x_3} \mathrm{d}x_4\, \mathrm{d}x_3\, \mathrm{d}x_2\, \mathrm{d}x_1 = 1/8$

nhưng tôi thấy việc tính toán các tích phân lồng nhau này ngày càng khó khăn và tôi không nhận được "mánh khóe" để khái quát thành . Tôi biết câu trả lời cuối cùng có cấu trúc $\Pr(\text{length} = n)$

E (length) = \sum_{n = 1}^{\infty} n Pr (length = n)

$\mathbb E(\text{length}) = \sum_{n=1}^{\infty}n\Pr(\text{length} = n)$

Bất kỳ ý tưởng về cách trả lời câu hỏi này?

— Amazon
nguồn

Câu trả lời:

Dưới đây là một số gợi ý chung để giải quyết câu hỏi này:

Bạn có một chuỗi các biến ngẫu nhiên IID liên tục có nghĩa là chúng có thể trao đổi . Điều này ngụ ý gì về xác suất nhận được một đơn đặt hàng cụ thể cho giá trị đầu tiên ? Dựa trên điều này, xác suất nhận được một đơn hàng tăng cho các giá trị đầu tiên là gì? Có thể chỉ ra điều này mà không cần tích hợp vào phân phối các biến ngẫu nhiên cơ bản. Nếu bạn làm tốt điều này, bạn sẽ có thể rút ra câu trả lời mà không cần bất kỳ giả định nào về phân phối thống nhất - tức là, bạn nhận được câu trả lời áp dụng cho bất kỳ chuỗi có thể trao đổi nào của các biến ngẫu nhiên liên tục. $n$ $n$

Đây là giải pháp đầy đủ ( đừng tìm nếu bạn phải tự mình tìm ra điều này ):

Đặt là chuỗi các biến ngẫu nhiên liên tục độc lập của bạn và để là số phần tử tăng khi bắt đầu chuỗi. Vì đây là các biến ngẫu nhiên có thể trao đổi liên tục, chúng gần như chắc chắn không bằng nhau và mọi thứ tự đều có khả năng như nhau, vì vậy chúng tôi có: (Lưu ý rằng kết quả này đúng với bất kỳ chuỗi IID nào của các biến ngẫu nhiên liên tục; chúng không phải có phân phối đồng đều.) Vì vậy, biến ngẫu nhiên có hàm khối lượng xác suất $U_1, U_2, U_3, \cdots \sim \text{IID Continuous Dist}$ $N \equiv \max \{ n \in \mathbb{N} | U_1 < U_2 < \cdots < U_n \}$
$P (N ⩾ n) = P (U_{1} < U_{2} < \dots < U_{n}) = \frac{1}{n!} .$ $\mathbb{P}(N \geqslant n) = \mathbb{P}(U_1 < U_2 < \cdots < U_n) = \frac{1}{n!}.$ $N$ $p_{N} (n) = P (N = n) = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} = \frac{n}{(n + 1)!} .$ $p_N(n) = \mathbb{P}(N=n) = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n}{(n+1)!}.$ Bạn sẽ nhận thấy rằng kết quả này phù hợp với các giá trị bạn đã tính bằng cách sử dụng tích hợp trên các giá trị cơ bản. (Phần này không cần thiết cho giải pháp; nó được bao gồm để hoàn thiện.) Sử dụng quy tắc nổi tiếng cho giá trị mong đợi của biến ngẫu nhiên không âm , chúng tôi có: Một lần nữa lưu ý rằng không có gì trong công việc của chúng tôi sử dụng phân phối thống nhất cơ bản. Do đó, đây là kết quả chung áp dụng cho bất kỳ chuỗi biến ngẫu nhiên liên tục có thể trao đổi nào. $E (N) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (N ⩾ n) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1 = 1.718282.$ $\mathbb{E}(N) = \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(N \geqslant n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} = e - 1 = 1.718282.$

Một số hiểu biết thêm:

Từ các hoạt động trên, chúng ta thấy rằng kết quả phân phối này và kết quả giá trị mong đợi không phụ thuộc vào phân phối cơ bản, miễn là nó là một phân phối liên tục. Điều này thực sự không đáng ngạc nhiên khi chúng ta xem xét thực tế rằng mọi biến ngẫu nhiên vô hướng liên tục có thể thu được thông qua một phép biến đổi đơn điệu của một biến ngẫu nhiên thống nhất (với phép biến đổi là hàm lượng tử của nó). Do các phép biến đổi đơn điệu bảo toàn thứ tự xếp hạng, nên việc xem xét xác suất đặt hàng của các biến ngẫu nhiên liên tục IID tùy ý cũng giống như xem xét xác suất đặt hàng của các biến ngẫu nhiên thống nhất IID .

— Phục hồi
nguồn

Làm tốt lắm! (+1)

— jbowman

@Ben Tôi theo bạn cho đến phương trình cuối cùng ... Tôi nghĩ giá trị mong đợi sẽ là, thay vì ... bạn có thể giải thích thêm về phần này không?

E (N) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (N = n) * n = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} / (n + 1)!

$E(N)=∑_{n=1}^∞P(N=n)*n=∑_{n=1}^∞ n^2/(n+1)!$

E (N) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (N ⩾ n)

$E(N)=∑_{n=1}^∞P(N⩾n)$

— Amazonia

Đây là một quy tắc nổi tiếng cho giá trị dự kiến của một biến ngẫu nhiên không âm . Sử dụng một kỹ thuật liên quan đến việc hoán đổi thứ tự tổng, bạn có: Vì vậy, bạn nên tìm thấy .

E (N) = \sum_{n = 1}^{\infty} n P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{n} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = n}^{\infty} P (N = k) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (N ⩾ n) .

$\mathbb{E}(N) = \sum_{n=1}^\infty n \mathbb{P}(N=n) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(N = n) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty \mathbb{P}(N =k) = \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(N \geqslant n).$

\sum_{n} \frac{1}{n!} = \sum_{n} \frac{n^{2}}{(n + 1)!}

$\sum_n \tfrac{1}{n!} = \sum_n \tfrac{n^2}{(n+1)!}$

— Phục hồi Monica

Bạn có thể giải thích rõ tại sao không?

P (N ⩾ n) = P (U_{1} < U_{2} < \dots < U_{n})

${P}(N \geqslant n) = \mathbb{P}(U_1 < U_2 < \cdots < U_n)$

— badmax

@badmax: Biến ngẫu nhiên là số phần tử tăng của khi bắt đầu chuỗi (xem định nghĩa của nó). Do đó, nếu có nghĩa là có ít nhất phần tử tăng khi bắt đầu chuỗi. Điều này có nghĩa là phần tử đầu tiên phải theo thứ tự tăng dần, đó là .

N

$N$

U

$U$

N ⩾ n

$N \geqslant n$

n

$n$

n

$n$

U_{1} < U_{2} < \dots < U_{n}

$U_1 < U_2 < \cdots < U_n$

— Phục hồi

Một phương pháp giải quyết khác giúp bạn có giải pháp cho một trường hợp tổng quát hơn.

Giả sử là độ dài dự kiến của chuỗi đơn điệu , sao cho . Giá trị chúng tôi muốn tính là . Và chúng ta biết . Điều hòa giá trị tiếp theo, $F(x)$ $\{x_1, x_2, ...\}$ $x\leq x_1\leq x_2\leq\cdots$ $F(0)$ $F(1)=0$

F (x) = \int_{0}^{x} π (y) \cdot 0 d y + \int_{x}^{1} π (y) (1 + F (y)) d y = \int_{x}^{1} 1 + F (y) d y

$F(x) = \int_0^x \pi(y)\cdot 0 dy + \int_x^1\pi(y)(1+F(y))dy= \int_x^1 1+F(y) dy$

trong đó là mật độ U [0,1]. Vì thế $\pi(y)=1$

F^{'} (x) = - (1 + F (x))

$F'(x)=-(1+F(x))$

Giải với điều kiện biên , ta được . Do đó . $F(1)=0$ $F(x) = e^{(1-x)}-1$ $F(0)=e-1$

— jf328
nguồn

Điều này rất thông minh. Chỉ cần đánh vần một chút: các quan sát của bạn là 1) nếu là độ dài của chuỗi tăng ban đầu dài nhất trừ đi một thì đủ để xác định và đặt và 2) bằng 0 nếu và nếu không. Vì ta nhận được , trong trường hợp đồng nhất có thể được giải quyết trực tiếp.

L

$L$

E (L | X_{0} = x) =: F (x)

$E(L|X_0=x)=:F(x)$

x = 0

$x=0$

E (L | X_{0} = x, X_{1} = y)

$E(L|X_0=x,X_1=y)$

y < x

$y<x$

1 + E (L | X_{0} = y)

$1+E(L|X_0=y)$

E (L | X_{0} = x) = E (E (L | X_{0} = x, X_{1})) = \int_{R} f_{X} (y) E (L | X_{0} = x, X_{1} = y) d y = \int_{x}^{1} f_{X} (y) (1 + E (L | X_{0} = y)) d y = \int_{x}^{1} f_{X} (y) (1 + F (y)) d y

$E(L|X_0=x)=E(E(L|X_0=x,X_1)) = \int_\mathbb{R} f_X(y) E(L|X_0=x, X_1=y) dy = \int_x^1 f_X(y)(1+E(L|X_0=y))dy= \int_x^1 f_X(y)(1+F(y))dy$

F^{'} (x) = - f_{X} (x) (1 + F (x))

$F'(x)=-f_X(x)(1+F(x))$

— Tháp Matthew

+1 Thực sự rất thông minh. Nhưng vì câu trả lời cuối cùng không phụ thuộc vào phân phối (như câu trả lời khác thảo luận), nên tính toán này bằng cách nào đó không nên phụ thuộc vào . Có cách nào để xem nó? CC đến @m_t_.

π (y)

$\pi(y)$

— amip nói phục hồi Monica

@amoeba Tôi đồng ý không nên phụ thuộc vào phân phối của , nhưng các giá trị khác của nên: giải pháp chung của DE đó là

F (0)

$F(0)$

X

$X$

F

$F$

F = C e^{- \int π} - 1

$F=Ce^{-\int \pi}-1$

— Matthew Towers

@MartijnWeterings Tôi nghĩ , không phải 1, ví dụ trong trường hợp đồng phục, chúng tôi nhận được

C = e

$C=e$

e e^{- x} - 1

$e e^{-x} -1$

— Matthew Towers

Vâng, bạn đúng. Tôi đã sử dụng trường hợp đồng phục để suy luận tuyên bố của mình nhưng sử dụng sai thay vì

c e^{1 - x} - 1

$ce^{1-x}-1$

c e^{- x} - 1

$ce^{-x}-1$

— Sextus Empiricus

Một phương pháp giải khác là tính tích phân trực tiếp.

Xác suất tạo ra một chuỗi có phần tăng có độ dài là , trong đó . $\geq n$ $f^n(0)$ $f^n(x) = \int_{x}^{1}\int_{x_1}^{1}\int_{x_2}^{1}...\int_{x_{n-2}}^{1}\int_{x_{n-1}}^{1}dx_ndx_{n-1}...dx_2dx_1$

Điều chúng ta cần làm là tính toán . $f^n(0)$

Nếu bạn cố gắng tính toán một vài đầu tiên , có thể bạn sẽ thấy rằng $f^n(x)$ $f^n(x) = \sum_{t=0}^n \dfrac{(-x)^t}{t!(n-t)!}$

Trường hợp cơ sở: khi , $n=1$ $f^1(x) = \sum_{t=0}^1 \dfrac{(-x)^t}{t!(n-t)!}=1-x=\int_{x}^{1}dx_1$

Giả thuyết quy nạp: khi , $n=k$ $f^n(x) = \sum_{t=0}^k \dfrac{(-x)^t}{t!(k-t)!}\text{ , for }k \geq 1$

Bước quy nạp: khi , $n = k+1$

$\ \ \ \ \ f^{n}(x) = f^{k+1}(x) = \int_{x}^{1}f^{k}(x^*)dx^*$

$=\int_{x}^{1}\sum_{t=0}^{k} \dfrac{(-x^*)^t}{t!(k-t)!}dx^*$

$=\sum_{t=0}^{k} \dfrac{-(-x^*)^{t+1}}{t!(k-t)!\times(t+1)}\Biggr|_{x}^{1}\\=\sum_{t=0}^{k} \dfrac{-(-x^*)^{t+1}}{(t+1)!(k-t)!}\Biggr|_{x}^{1}$

$=\sum_{t=1}^{k+1} \dfrac{-(-x^*)^{t}}{t!(k-t+1)!}\Biggr|_{x}^{1}$

$=\sum_{t=1}^{k+1} \dfrac{(-1)^{t+1}}{t!(k-t+1)!}+\sum_{t=1}^{k+1} \dfrac{(-x)^{t}}{t!(k-t+1)!}$

$=\sum_{t=1}^{k+1} \dfrac{(-1)^{t+1}C_t^{k+1}}{(k+1)!}+\sum_{t=1}^{k+1} \dfrac{(-x)^{t}}{t!(k-t+1)!}$

$=\dfrac{1}{(k+1)!}+\sum_{t=0}^{k+1} \dfrac{(-1)^{t+1}C_t^{k+1}}{(k+1)!}+\sum_{t=1}^{k+1} \dfrac{(-x)^{t}}{t!(k-t+1)!}$

$=\dfrac{1}{(k+1)!}-\dfrac{(1-1)^{k+1}}{(k+1)!}+\sum_{t=1}^{k+1} \dfrac{(-x)^{t}}{t!(k-t+1)!}$

$=\sum_{t=0}^{k+1} \dfrac{(-x)^{t}}{t!(k-t+1)!}$

Theo quy nạp toán học, giả định giữ.

Do đó, chúng tôi nhận được rằng $f^n(0)=\dfrac{1}{n!}$

Vì vậy, $E(length)=\sum_{n=1}^{\infty} Pr(length\geq n)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!}=e-1$

— 劉家維
nguồn

Brain-teaser: Độ dài dự kiến ​​của chuỗi iid tăng đơn điệu khi được rút ra từ phân phối [0,1] thống nhất là bao nhiêu?

Brain-teaser: Độ dài dự kiến của chuỗi iid tăng đơn điệu khi được rút ra từ phân phối [0,1] thống nhất là bao nhiêu?