Độc lập thống kê từ phân phối gamma

9

Đặt là một mẫu ngẫu nhiên từ phân phối gamma . $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Đặt và lần lượt là trung bình mẫu và phương sai mẫu. $\bar{X}$ $S^2$

Sau đó chứng minh hoặc chứng minh rằng và là độc lập. $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

Cố gắng của tôi: Vì , chúng ta cần kiểm tra tính độc lập của và , nhưng làm thế nào tôi nên thiết lập sự độc lập giữa họ? $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— chuông
nguồn

2

Hãy xem xét các Laplace transform doanh của tổng

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$ và vector

W

$\mathbf{W}$ của tỷ lệ

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$ . Đây là

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$ ; bạn có thể chỉ ra rằng đây là sản phẩm của hàm

t

$t$ và hàm của

z

$\mathbf{z}$ .

— Yves

@Yves Bạn có thể kiểm tra câu trả lời của tôi được đăng dưới đây?

— bellcircle

3

Có một minh chứng dễ thương, đơn giản, trực quan rõ ràng cho tích phân $\alpha.$ Nó chỉ dựa vào các thuộc tính nổi tiếng của phân phối đồng đều, phân phối Gamma, các quá trình Poisson và các biến ngẫu nhiên và diễn ra như sau:

Mỗi là thời gian chờ cho đến khi điểm của quá trình Poisson xảy ra. $X_i$ $\alpha$
Do đó, tổng là thời gian chờ cho đến khi điểm của quá trình đó xảy ra. Hãy gọi các điểm này là $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
Có điều kiện trên , các điểm đầu tiên được phân phối đồng đều độc lập giữa và $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
Do đó, các tỷ lệ được phân phối thống nhất độc lập giữa và Đặc biệt, phân phối của chúng không phụ thuộc vào $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
Do đó, mọi chức năng (có thể đo lường) của đều độc lập với $Z_i/Y$ $Y.$
Trong số các chức năng như vậy có (trong đó dấu ngoặc biểu thị số liệu thống kê đơn hàng của ).
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

Tại thời điểm này, chỉ cần lưu ý rằng có thể được viết rõ ràng dưới dạng hàm (đo lường được) của và do đó độc lập với $S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— whuber
nguồn

3

Bạn muốn chứng minh rằng trung bình và rv.s là độc lập hoặc tương đương rằng tổng và tỷ lệ là độc lập. Chúng tôi có thể chứng minh một kết quả tổng quát hơn một chút bằng cách giả sử rằng có thể có các hình dạng khác nhau , nhưng cùng một tỷ lệ có thể được coi là . $\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ $\beta = 1$

Hãy xem xét biến đổi Laplace chung của và tức là Điều này thể hiện dưới dạng tích phân chiều so với trong đó hằng số có liên quan đến . Nếu chúng tôi giới thiệu các biến mới dưới dấu tích phân bằng cách đặt $U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int \exp [- (1 + t) (x_{1} + \dots + x_{n}) - \frac{z_{1} x_{1} + \dots + z_{n} x_{n}}{x_{1} + \dots + x_{n}}] x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{n}^{α_{n} - 1} d x

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , chúng ta dễ dàng thấy rằng tích phân có thể được viết dưới dạng tích của hai hàm, một hàm phụ thuộc vào khác tùy thuộc vào vectơ . Điều này chứng tỏ rằng và là độc lập.

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

Khước từ . Câu hỏi này liên quan đến định lý của Lukacs về tính độc lập theo tỷ lệ , do đó, đến bài viết của Eugene Lukacs Một đặc điểm của phân phối Gamma . Tôi chỉ trích ra ở đây phần có liên quan của bài viết này (cụ thể là trang 324), với một số thay đổi trong các ký hiệu. Tôi cũng thay thế việc sử dụng hàm đặc trưng bằng biến đổi Laplace để tránh thay đổi các biến liên quan đến số phức.

— Yves
nguồn

1

(+1) Cho bài viết về đặc tính phân phối gamma.

— StubbornAtom

1

Đặt . Lưu ý rằng là một thống kê phụ trợ của , tức là phân phối của nó không phụ thuộc vào . $U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

Do là một thống kê đầy đủ của , nên nó độc lập với theo định lý của Basu, vì vậy kết luận sau đây. $U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

Tôi không chắc chắn về việc xây dựng thống kê phụ trợ, vì nó chỉ độc lập với , không phải . $\beta$ $\alpha$

— chuông
nguồn

Tốt Định lý có thể được gọi với được coi là cố định để xem xét mô hình thống kê một tham số.

α

$\alpha$

— Yves