Tạo tiếng ồn đồng đều từ một quả bóng định mức p ( )

Tôi đang cố gắng viết một hàm tạo ra tiếng ồn phân tán đồng đều xuất phát từ một quả bóng chuẩn p có kích thước : $n$

| | x | |_{p} \leq r

$\begin{equation} ||x||_p \leq r \end{equation}$

Tôi đã tìm thấy các giải pháp khả thi cho vòng kết nối ( ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ), tuy nhiên tôi gặp khó khăn khi mở rộng điều này cho các giá trị khác nhau của . $p = 2$ $p$

Tôi đã thử làm điều đó bằng cách chỉ vẽ một mẫu ngẫu nhiên từ phân phối đồng đều và vẽ lại khi nó không đáp ứng các ràng buộc nhất định. Tuy nhiên, bên cạnh đó là một giải pháp xấu xí, nó cũng trở nên không thể tính toán được cho các kích thước cao.

simulation noise

— Taeke de Haan
nguồn

Câu trả lời có thể được tìm thấy ở đây cho một hình cầu có n kích thước bằng khoảng cách Euclide (p = 2) math.stackexchange.com/questions/87230/ . Tuy nhiên tôi vẫn không chắc chắn cách sử dụng nó cho các chỉ tiêu p khác nhau, tôi có thể không chỉ đơn giản là thay đổi khoảng cách Euclide đã sử dụng trong một mối quan hệ khác nhau cho khoảng cách?

— Taeke de Haan

Có rất nhiều giấy tờ, nhưng hầu hết đều đứng sau paywall: link.springer.com/article/10.1007/s00184-011-0360-x hoặc xem google.com/

— Kẻ

"Đồng phục" đối với số liệu khối lượng nào? Rốt cuộc, nếu bạn đang sử dụng

-ball, tại sao khối lượng Euclide lại được quan tâm?

p

$p$

— whuber

@whuber Tôi thực sự không chắc chắn vì điều này không được nêu rõ trong bài tập, nhưng tôi sẽ mong đợi trong p-Norm vì bất kỳ số liệu nào khác dường như là tùy ý trong trường hợp này.

— Taeke de Haan

Vấn đề xuất phát từ bài tập Machine Learning; "Vấn đề là một vấn đề phân loại hai lớp ở 204 chiều. Tập huấn luyện có nhãn nhỏ có kích thước 50 mẫu trên mỗi lớp. Dữ liệu không được gắn nhãn cung cấp 20.000 mẫu bổ sung. Tuy nhiên, các mẫu này đã bị hỏng một số loại. chỉ có thông tin bổ sung mà chúng tôi có liên quan đến tham nhũng này, đó là tiếng ồn đồng nhất phụ gia và tiếng ồn phát ra từ một quả bóng định mức p cố định,

, trong đó cả

và bán kính

đều không xác định. " Tôi cần phải có tỷ lệ lỗi thấp nhất trên dữ liệu chưa được gắn nhãn.

| | x | |_{p} \leq r

$||x||_p \leq r$

p

$p$

r

$r$

— Taeke de Haan

Câu trả lời:

Tôi đã tìm thấy giải pháp đầy đủ trong một bài báo theo đề xuất của kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ). Tôi thực sự gặp khó khăn trong việc hiểu toán học đằng sau nó, nhưng thuật toán cuối cùng khá đơn giản. nếu chúng ta có kích thước, bán kính và chỉ tiêu hơn: $n$ $r$ $p$

1) tạo ra độc lập vô hướng thực ngẫu nhiên , nơi là sự phân bố tổng quát Gaussian (với một sức mạnh khác nhau trong số mũ thay chỉ ) $n$ $\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$ $\bar{G}(\mu, \sigma^2)$ $e^{−|x|^p}$ $p=2$

2) xây dựng các vector của các thành phần , nơi là dấu hiệu ngẫu nhiên độc lập $x$ $s_i * \varepsilon_i$ $s_i$

3) Tạo , trong đó là biến ngẫu nhiên được phân bố đồng đều trong khoảng [0, 1]. $z = w^{1/n}$ $w$

4) trả về $y = r z \frac{x}{||x||_p}$

— Taeke de Haan
nguồn

Để đầy đủ, bạn có thể cho biết

trong câu trả lời của bạn là gì không?

G

$G$

— Stéphane Laurent

Nó đã được cập nhật

— Taeke de Haan

G là phân phối Gaussian tổng quát (có công suất khác theo số mũ

thay vì chỉ

). Điều này sẽ làm cho phân phối cho vectơ

, bao gồm nhiều biến phân phối gaussian tổng quát độc lập

, là sản phẩm của các pdf đơn, phụ thuộc vào chỉ tiêu p.

e^{- | x |^{p}}

$e^{-|x|^p}$

p = 2

$p=2$

x

$\mathbf{x}$

x_{i}

$x_i$

f (x) \propto e^{- | x |_{p}^{p}}

$f(\mathbf{x}) \propto e^{-\vert \mathbf{x} \vert_p^p}$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings Cảm ơn rất nhiều, nó đã được cập nhật.

— Taeke de Haan

Cảm ơn. Để biết, có một sampler phân phối này trong gói R pgnorm .

— Stéphane Laurent

Sử dụng các biến đa biến phân phối đồng nhất

Taeke cung cấp một liên kết đến một bài viết mà văn bản dưới đây làm cho trực quan hơn bằng cách giải thích cụ thể các trường hợp 2-Norm và 1-Norm.

2-norm $\Vert x \Vert_2 \leq r$

hướng mẫu

Bạn có thể sử dụng kết quả này http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html

$X$

f (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}) = \prod_{1 \leq i \leq n} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{1}{2} x_{i}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{1}{2} \sum_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{2}}

$f(X_1,X_2,...,X_n) = \prod_{1\leq i \leq n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}x_i^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}\sum_{1 \leq i \leq n} x_i^2}$

$\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

khoảng cách mẫu

Để hoàn thành, bạn chỉ cần lấy mẫu khoảng cách, để thay đổi phân bố đồng nhất trên quả cầu thành phân phối đồng nhất trong một quả bóng. (tương tự ít nhiều giống như ví dụ được liên kết của bạn để chọn điểm đĩa)

$r$ $r^n$ $r$ $r^n$

$n$

$\Vert x \Vert_1 \leq r$

phương hướng

$X$ $\frac{X}{\vert X \vert_1}$

Tôi không có bằng chứng chính thức, chỉ là trực giác

^{$f(x) dV$ $f(x) dA$}

nhưng thử nghiệm với mô phỏng có vẻ tốt.

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

khoảng cách

$r^n$

$\Vert x \Vert_p \leq r$

$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$ $G()$

— Sextus Empiricus
nguồn

p

$p$

n

$n$

r

$r$

p

$p$

z = w^{1 / n}

$z = w^{1/n}$

w

$w$

y = r z \frac{x}{| | x | |_{p}}

$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

Tạo tiếng ồn đồng đều từ một quả bóng định mức p ( )

Sử dụng các biến đa biến phân phối đồng nhất

2-norm ∥ x ∥2≤ r‖x‖2≤r\Vert x \Vert_2 \leq r

hướng mẫu

khoảng cách mẫu

∥ x ∥1≤ r‖x‖1≤r\Vert x \Vert_1 \leq r

phương hướng

khoảng cách

∥ x ∥p≤ r‖x‖p≤r\Vert x \Vert_p \leq r

2-norm $\Vert x \Vert_2 \leq r$

$\Vert x \Vert_1 \leq r$

$\Vert x \Vert_p \leq r$