Xác suất mà

Giả sử và Y là hai biến chuẩn với trung bình μ = ( μ 1 , μ 2 ) và hiệp phương sai Σ = [ σ 11 σ 12 σ 12 σ 22 ] . Xác suất Pr ( X < Y | min ( X , Y ) ) là bao nhiêu?$X$$Y$$\mu=(\mu_1,\mu_2)$$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$$\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$

Sử dụng ký hiệu rõ ràng hơn một chút , trong đó m là số thực, không phải là biến ngẫu nhiên. Tập hợp trên đó min ( X , Y ) = m là một đường dẫn hình chữ L có hai đoạn nửa mở: một đoạn đi thẳng từ điểm ( m , m ) và một đoạn khác đi thẳng về phía bên phải từ cùng điểm này. Rõ ràng là trên chân dọc, x < y và trên chân ngang$P(X<Y|\min(X, Y)=m)$$m$$\min(X,Y) = m$$(m,m)$$x<y$ .$x>y$

Với trực giác hình học này, dễ dàng viết lại bài toán ở dạng tương đương, trong đó tử số chúng ta chỉ có chân đứng trong đó và trong mẫu số chúng ta có tổng của hai chân.$x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

$P(m<X|Y=m)$$\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

$\sigma_{ij}$$\sigma$$s^2$$s$

$m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

$P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

và

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

$z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

Dựa trên mã mô phỏng được cung cấp bởi tác giả câu hỏi, chúng ta có thể so sánh kết quả lý thuyết này với kết quả mô phỏng:

$Pr$

$$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$$

$f_{X,Y}$$X$$Y$$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

$$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$$

và

$$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$$

Sử dụng tính quy tắc và định nghĩa xác suất có điều kiện, các tích phân có thể được viết lại thành

$$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$$

và

$$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$$

$$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$$

$$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$$

$$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$$

và

$$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$$

Như vậy

$$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$$

Hình thức cuối cùng này rất giống với kết quả mà @olooney đạt được. Sự khác biệt là xác suất của anh ta không bị ảnh hưởng bởi mật độ bình thường.

Một tập lệnh R để xác minh số có thể được tìm thấy ở đây