Giới hạn về sự khác biệt của các biến ngẫu nhiên tương quan

Cho hai biến ngẫu nhiên và có tương quan cao , tôi muốn ràng buộc xác suất chênh lệchvượt quá số lượng: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Giả sử cho đơn giản rằng:

Hệ số tương quan được biết là "cao", giả sử: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ có nghĩa là không: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (hoặc $0 \leq x_i, y_i \leq 1$ nếu đó là bất kỳ dễ dàng hơn)
(Nếu nó làm cho mọi thứ dễ dàng hơn, chúng ta hãy nói $X,Y$ có sai giống hệt nhau: $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$ )

Không chắc chắn mức độ khả thi của việc đưa ra ràng buộc về sự khác biệt chỉ được cung cấp thông tin ở trên (tôi chắc chắn không thể có được ở bất cứ đâu). Một giải pháp cụ thể (nếu có), các hạn chế bổ sung bắt buộc để áp đặt cho các bản phân phối, hoặc chỉ lời khuyên về cách tiếp cận sẽ rất tuyệt.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
nguồn

Ngay cả khi không có những giả định đơn giản hóa đó, một ràng buộc có thể đạt được bằng cách kết hợp một vài công cụ thông thường:

Phương sai của sự khác biệt của hai biến tương quan . Nó cho phép chúng ta biến một vấn đề hai biến thành một vấn đề đơn biến.
Sự bất bình đẳng của Ch Quashev . Nó đặt một ràng buộc về xác suất vượt quá một giá trị nhất định.

Trong một số chi tiết:

σ_{X - Y}^{2} = = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

Theo bất đẳng thức của Ch Quashev, đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Sau đó (và sử dụng rằng : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Chúng ta có thể sử dụng các giả định đơn giản hóa được đề xuất để có được biểu thức đơn giản hơn. Khi nào:

ρ_{X, Y} = = c o v một r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = = 1 - ε

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = = μ_{y} = = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = = σ_{Y}^{2} = = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Sau đó:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ε)) = = 2 σ^{2} ε

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

Và do đó:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ε}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

$\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
nguồn