Viết AR (1) dưới dạng quy trình MA ( )

7

Quá trình AR (1) là

$X_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t}$ $X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$

nếu chúng ta sử dụng công thức này một cách đệ quy, chúng ta sẽ nhận được

X_{t} = ϕ (ϕ X_{t - 2} + ε_{t - 1}) + ε_{t} = ϕ^{2} X_{t - 2} + ϕ ε_{t - 1} + ε_{t} = \dots = ϕ^{k} X_{t - k} + \sum_{j = 0}^{k} ϕ^{j} ε_{t - j}

$X_t = \phi(\phi X_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t = \phi^2X_{t-2} + \phi\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t = \cdots = \phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}$

Nếu chúng ta để , chúng ta sẽ nhận được Tính đối ngẫu giữa AR (1) và MA ( ) nói rằng có sự tương đương giữa hai và chúng ta có thể viết là $k\to\infty$

X_{t} = lim_{k \to \infty} (ϕ^{k} X_{t - k} + \sum_{j = 0}^{k} ϕ^{j} ε_{t - j}) = lim_{k \to \infty} (ϕ^{k} X_{t - k}) + \sum_{j = 0}^{\infty} ϕ^{j} ε_{t - j}

$X_t = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}) = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k}) + \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$

\infty

$\infty$

X_{t}

$X_t$

$X_{t} = \sum_{j = 0}^{\infty} ϕ^{j} ε_{t - j}$ $X_t = \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$

Sự khác biệt giữa hai kết quả là thuật ngữ $\lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k})$ , nên bằng 0, nhưng làm cách nào để hiển thị điều này?

Giả sử $|\phi| < 1$ , tất nhiên chúng ta có $\lim_{k\to\infty}\phi^k = 0$ , nhưng tôi không hiểu tại sao $\lim_{k\to\infty} X_{t-k} < \infty$ ? Liệu sự hội tụ có theo quy luật của số lượng lớn, hay có cách nào khác để thể hiện sự tương đương?

Tôi biết có một bằng chứng đảo ngược toán tử độ trễ $1-B$ , nhưng tôi không tìm thấy bất kỳ lời biện minh nào cho lý do tại sao toán tử thậm chí có thể được đảo ngược, vì vậy tôi muốn có một bằng chứng thay thế, như cách trên.

— Frank Vel
nguồn

1

Có một số vấn đề với các chỉ số của bạn - các tổng kết nên bắt đầu tại và sau đó sẽ là , không phải .

j = 0

$j=0$

ϵ_{t - j}

$\epsilon_{t-j}$

ϵ_{t - k}

$\epsilon_{t-k}$

— Christoph Hanck

4

Ý nghĩa thông thường trong đó hội tụ được hiểu trong trường hợp này là bình phương trung bình :

E [Y_{t} - (ϵ_{t} + ϕ ϵ_{t - 1} + ϕ^{2} ϵ_{t - 2} + \dots + ϕ^{j} ϵ_{t - j})]^{2} = ϕ^{2 (j + 1)} E [Y_{t - j - 1}]^{2}

$E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=\phi^{2(j+1)} E[Y_{t-j-1}]^2$ Nếu đứng yên Do đó

Y_{t}

$Y_t$

E [Y_{t - j - 1}]^{2} = γ_{0} + μ^{2}

$E[Y_{t-j-1}]^2=\gamma_0+\mu^2$

lim_{j \to \infty} E [Y_{t} - (ϵ_{t} + ϕ ϵ_{t - 1} + ϕ^{2} ϵ_{t - 2} + \dots + ϕ^{j} ϵ_{t - j})]^{2} = 0

$\lim_{j\to\infty}E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=0$

— Christoph Hanck
nguồn

Vì vậy, chúng tôi sẽ sử dụng luật yếu của số lượng lớn, tức là ?

lim_{j \to \infty} E (ϕ^{j} X_{t - j})^{2} = 0

$\lim_{j\to\infty} E(\phi^j X_{t-j})^2 = 0$

— Frank Vel

1

WLLN thường đề cập đến kích thước mẫu sẽ đến vô cùng, trong khi đó trong tình huống này, số lượng độ trễ chuyển sang vô cùng. Tôi thà đọc nó khi nói rằng giá trị trung bình của sự khác biệt bình phương biến mất.

— Christoph Hanck

1

Bạn có quyền nghi ngờ về bước này và trên thực tế, không cần giả định thêm để giới hạn kích thước của bạn không thể có được biểu mẫu bắt buộc. Hãy nhớ rằng phương trình đệ quy cho mô hình AR là không đủ để mang lại sự phân phối chung của quá trình. (Bạn cần áp đặt phân phối cho quy trình lỗi và thậm chí sau đó, bạn cần áp đặt trạng thái ổn định hoặc chỉ định phân phối ban đầu dẫn đến một số mô hình không cố định.) Nếu bạn chỉ có phương trình đệ quy này, không có lý do gì các giá trị chuỗi thời gian không thể bùng nổ thành các giá trị lớn dưới dạng . $X_{-\infty}$ $t \rightarrow -\infty$

Ví dụ: quy trình AR không cố định thỏa mãn phương trình đệ quy mà bạn đã chỉ định (không có lỗi) và trong trường hợp này bạn có . Trong mô hình này, với mọi bạn cũng có: $X_t = \phi^t$ $\lim_{k \rightarrow \infty} X_{t-k} = \infty$ $\phi \neq 0$

ϕ^{k} X_{t - k} = ϕ^{k} ϕ^{t - k} = ϕ^{t} \neq 0.

$\phi^k X_{t-k} = \phi^k \phi^{t-k} = \phi^t \neq 0.$

Vì các lỗi bằng 0 trong mô hình xác định này, điều này mang lại cho bạn kết quả giới hạn:

X_{t} = \underset{0}{\underset{⏟}{\sum_{k = 0}^{\infty} ϕ^{k} ε_{t - k}}} + \underset{ϕ^{t}}{\underset{⏟}{lim_{k \to \infty} ϕ^{k} X_{t - k}}} .

$X_t = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty \phi^k \varepsilon_{t-k}}_{0} + \underbrace{\lim_{k \rightarrow \infty} \phi^k X_{t-k}}_{\phi^t}. \\[6pt]$

Rõ ràng, trong trường hợp này, thuật ngữ giới hạn là khác không và không thể xóa khỏi kết quả. Nếu bạn muốn có thể loại bỏ thuật ngữ cuối cùng này, bạn cần thêm các giả định tiếp theo vào mô hình của mình (ví dụ: văn phòng phẩm).

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn