Các vấn đề thống kê liên quan đến khoảng tin cậy đối với trung bình dân số có thể được đóng khung theo hàm trọng số sau :

$$w(\alpha, n) \equiv \frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{n}} \quad \quad \quad \quad \text{for } 0<\alpha<1 \text{ and } n > 1.$$

Ví dụ: khoảng tin cậy cấp độ cổ điển tiêu chuẩn cho giá trị trung bình của siêu dân số vô hạn có thể được viết là:$1-\alpha$

$$\text{CI}(1-\alpha) = \Bigg[ \bar{x}_n \pm w(\alpha, n) \cdot s_n \Bigg].$$

Việc thiết lập các giới hạn và \ lim _ {\ alpha \ uparrow 1} w (\ alpha, n) = 0 bằng cách sử dụng hàm lượng tử là phân phối T. Trong bối cảnh của các khoảng tin cậy, điều này cho chúng ta biết rằng khoảng đó co lại thành một điểm khi chúng ta giảm mức độ tin cậy và tăng lên toàn bộ dòng thực khi chúng ta tăng mức độ tin cậy. Một thuộc tính trực quan khác cần giữ là khoảng thời gian co lại thành một điểm khi chúng ta nhận được càng nhiều dữ liệu, có nghĩa là:$\lim_{\alpha \downarrow 0} w(\alpha, n) = \infty$$\lim_{\alpha \uparrow 1} w(\alpha, n) = 0$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} w(\alpha, n) = 0.$$

Câu hỏi: Vui lòng cung cấp bằng chứng cho thuộc tính sau này của hàm trọng số.

---

Thông tin thêm: Đối với bất kỳ độc giả toán học nào không quen thuộc với các điểm quan trọng của phân phối T , giá trị là một hàm của được xác định bởi phương trình ẩn:$t_{n-1, \alpha/2}$$n$

$$\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{(n-1) \pi}} \cdot \frac{\Gamma(\tfrac{n}{2})}{\Gamma(\tfrac{n-1}{2})} \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \Big( 1+ \frac{r^2}{n-1} \Big)^{-n/2} dr.$$

Bằng chứng với sự bất bình đẳng của Ch Quashev

Dưới đây là một bằng chứng sử dụng bất đẳng thức .$Pr(|T|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Nếu chúng tôi điền vào và đặt thì chúng ta có giới hạn$\sigma_{t_\nu} = \frac{\nu}{\nu-2}$$1/k^2=\alpha = Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right)$

$$Pr\left(|T|\geq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\right) \leq Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right)$$

do đó sẽ được giới hạn ở trên bởi$t_{\nu,\alpha/2}$

$$t_{\nu,\alpha/2} \leq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$$

thêm giới hạn dưới rõ ràng và chia theo$\sqrt{\nu+1}$

$$0 \leq \frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{\nu+1}} \leq \frac{\nu}{\sqrt{\nu+1}\left(\nu-2\right)}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$$

mà nén về 0 cho n→$t_{n-1,\alpha/2} / \sqrt{n}$$n \to \infty$

Tôi chắc chắn có một cách dễ dàng hơn để làm điều này, nhưng kết quả là ngay lập tức từ những điều sau đây:

Mệnh đề: Đặt là hàm phân phối liên tục và là một chuỗi các hàm phân phối sao cho yếu (nghĩa là trong phân phối). Sau đó thống nhất theo .F n F n → F F n ( x ) → F ( x ) $F$$F_n$$F_n \to F$$F_n(x) \to F(x)$$x$

Bằng chứng: Sử dụng tính liên tục và đơn điệu, với bất kỳ số tự nhiên chúng ta có thể chọn sao cho (lấy và ). Do sự hội tụ yếu và thực tế là liên tục, . Đối với bất kỳ , tìm một khoảng có chứa và lưu ý rằng . Do đó và vìx 0 , x 1 , Mạnh , x m F ( x j ) = j / m x 0 = - ∞ x m = ∞ F F n ( x j ) → F ( x j ) y [ x j - 1 , x j ] y | F n ( y ) - $m$$x_0, x_1, \ldots, x_m$$F(x_j) = j/m$$x_0 = -\infty$$x_m = \infty$$F$$F_n(x_j) \to F(x_j)$$y$$[x_{j-1}, x_{j}]$$y$¯ lim n→∞supy| Fn(y)-F(y)| ≤$|F_n(y) - F(y)| \le \sup_j |F_n(x_j) - F(x_j)| + |F(x_j) - F(x_{j-1})| \to \frac{1}{m}$ msupy| Fn(y)-F(y)| →$\varlimsup_{n \to \infty} \sup_y |F_n(y) - F(y)| \le \frac 1 m$$m$là tùy ý, chúng tôi nhận được .$\sup_y |F_n(y) - F(y)| \to 0$

Tiếp theo, đây là một ứng dụng nổi tiếng của định lý Slutsky rằng hội tụ trong phân phối thành một phân phối chuẩn thông thường. Kết quả trước đó ngụ ý rằng , tức là . Áp dụng hàm lượng tử thông thường cho cả hai bên, chúng ta nhận được . F n ( t n - 1 , α ) - F ( t n - 1 , α ) → 0 F ( t n - 1 , α ) → α t n - 1 , α → z $t_{n-1}$$F_n(t_{n-1,\alpha}) - F(t_{n-1,\alpha}) \to 0$$F(t_{n-1,\alpha}) \to \alpha$$t_{n-1,\alpha} \to z_{\alpha}$

Do đó ngụ ý cho mọi (đặc biệt, ).t n - 1 , $t_{n-1,\alpha} \to z_{\alpha}$g(n)→∞g(n)=$\frac{t_{n-1,\alpha}}{g(n)} \to 0$$g(n) \to \infty$$g(n) = \sqrt n$

Bằng chứng hình học

Xem hình học

Coi mẫu quan sát là một điểm trong không gian Euclide n chiều và ước tính giá trị trung bình là hình chiếu của một quan sát lên dòng mô hình .x 1 = x 2 = . . . = x n = ˉ $x_1,x_2,...,x_n$$x_1=x_2= ... = x_n = \bar{x}$

Điểm t có thể được biểu thị bằng tỷ lệ của hai khoảng cách trong không gian này

• khoảng cách giữa điểm được chiếu và dân số có nghĩa là $$\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)$$
• khoảng cách giữa điểm này và quan sát $$\sqrt{\sum_{i=1}^n(\hat{x}-x_i)^2}$$

Điều này có liên quan đến tiếp tuyến của góc giữa quan sát và đường mà nó được chiếu.

$$\frac{t}{\sqrt{n-1} } =\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(\hat{x}-x_i)^2}} = \frac{1}{\tan{\theta}}$$

Phân phối t tương đương và phân phối góc

Trong chế độ xem hình học này, xác suất của điểm t cao hơn một số giá trị tương đương với xác suất của góc nhỏ hơn một số giá trị:

$$Pr(|T|>t_{n-1,\alpha/2}) = 2 Pr(\theta \leq \theta_{\nu,\alpha}) = \alpha$$

Hoặc là

$$\frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{n-1}} = \frac{1}{\tan \theta_{\nu,\alpha}}$$

Bạn có thể nói rằng điểm t liên quan đến góc quan sát với đường thẳng của mô hình lý thuyết. Đối với các điểm nằm ngoài khoảng tin cậy (thì nằm cách xa và góc sẽ nhỏ hơn) góc sẽ nằm dưới một số giới hạn . Giới hạn này sẽ thay đổi với nhiều quan sát hơn. Nếu giới hạn của góc này là 90 độ đối với lớn (hình nón trở nên phẳng hơn, tức là ít nhọn và dài hơn) thì điều đó có nghĩa là kích thước của khoảng tin cậy sẽ nhỏ hơn và tiếp cận số không.ˉ x θ ν , α θ ν , α$\mu$$\bar{x}$$\theta_{\nu,\alpha}$$\theta_{\nu,\alpha}$$n$

Phân bố góc như diện tích tương đối của nắp của một hình cầu n

Do tính đối xứng của phân phối xác suất chung của các biến phân phối bình thường độc lập, mọi hướng đều có thể xảy ra như nhau và xác suất cho góc nằm trong một vùng nhất định bằng với diện tích tương đối của nắp của một hình cầu n.

Khu vực tương đối của n-cap này được tìm thấy bằng cách tích hợp khu vực của một n-achum :

$$\begin{array}{rcl} 2 Pr(\theta \leq \theta_c)& =& 2 \int_{\frac{1}{\sqrt{1+\tan(\theta_c)^2}}}^1 \frac{(1-x^2)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dx \\ &=& \int_{\frac{1}{{1+\tan(\theta_c)^2}}}^1 \frac{t^{-0.5}(1-t)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt \\ &=& I_{\frac{1}{{1+\tan(\theta_c)^2}}}\left(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2} \right) \end{array}$$

trong đó là hàm beta chưa hoàn thành thường xuyên hóa trên.$I_x(\cdot,\cdot)$

Giới hạn của góc

Nếu chuyển đến 90 độ cho thì sẽ về không.$\theta_{n,\alpha}$$n \to \infty$$t_{n-1,\alpha/2}/\sqrt{n}$

Hoặc một tuyên bố ngược lại: đối với bất kỳ góc nào nhỏ hơn 90 độ, diện tích tương đối của góc đó trên mặt cầu n, giảm xuống 0 khi đi đến vô cùng.$n$

Theo trực giác điều này có nghĩa là tất cả diện tích của một hình cầu n tập trung vào đường xích đạo khi kích thước tăng lên vô cùng.$n$

Về mặt định lượng, chúng ta có thể chỉ ra điều này bằng cách sử dụng biểu thức

$$\int_{a}^1 \frac{t^{-0.5}(1-t)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt < \int_{a}^1 \frac{(1-a)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt = \frac{(1-a)^{\frac{n-1}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} = L(n)$$

và xem xét sự khác biệt giữa và .$L(n+2)$$L(n)$

Tại một số điểm, việc giảm mẫu số sẽ được xử lý bằng cách giảm tử số và hàm giảm xuống 0 cho đến vô cùng.

$$\frac{B(\frac{1}{2},x+1)}{B(\frac{1}{2},x)} = \frac{x}{x+\frac{1}{2}}$$ $$\frac{(1-a)^{\frac{n+1}{2}}}{(1-a)^{\frac{n-1}{2}}} = 1-a$$ $L(n)$$n$

Chúng ta có

$$\begin{align} \frac{\alpha}{2} &= \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{(n-1) \pi}} \cdot \frac{\Gamma(\tfrac{n}{2})}{\Gamma(\tfrac{n-1}{2})} \Big( 1+ \frac{r^2}{n-1} \Big)^{-n/2} dr \\[10pt] &= \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}r^2} dr \\[10pt] &= 1-\Phi(t_{n-1, \alpha/2}) \\[10pt] &\approx 1-\left[\frac{1}{2}+\varphi(t_{n-1, \alpha/2}) \left(t_{n-1, \alpha/2}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^3}{3}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^5}{15} + \dots \right) \right] \end{align}$$

trong đó ngụ ý rằng thuật ngữ thứ hai trong ngoặc được đóng hộp có thể nhiều nhất là vì tối đa có thể là . Lưu ý rằng là pdf của phân phối bình thường. Sự gần đúng này cũng dựa trên điều này .$\frac{1}{2}$$\alpha$$1$$\varphi(x)$

Vì vậy,

$$0 < \alpha \approx 1+2\varphi(t_{n-1, \alpha/2}) \left(t_{n-1, \alpha/2}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^3}{3}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^5}{15} + \dots \right) <1$$