Vấn đề câu cá

Giả sử bạn muốn đi câu cá ở hồ gần đó từ 8 giờ sáng đến 8 giờ tối. Do đánh bắt quá mức, một đạo luật đã được đưa ra nói rằng bạn chỉ có thể bắt một con cá mỗi ngày. Khi bạn bắt được một con cá, bạn có thể chọn giữ nó (và do đó về nhà với con cá đó), hoặc ném nó trở lại hồ và tiếp tục câu cá (nhưng có nguy cơ sau đó giải quyết với một con cá nhỏ hơn hoặc không có con cá nào). Bạn muốn bắt một con cá càng lớn càng tốt; cụ thể, bạn muốn tối đa hóa khối lượng cá dự kiến bạn mang về nhà.

Chính thức, chúng tôi có thể thiết lập vấn đề này như sau: cá được đánh bắt ở một tỷ lệ nhất định (vì vậy, thời gian cần thiết để bắt cá tiếp theo của bạn theo phân phối theo cấp số nhân đã biết) và kích cỡ của cá đánh bắt theo phân phối (còn được biết đến) . Chúng tôi muốn một số quy trình quyết định, với thời gian hiện tại và kích cỡ của một con cá bạn vừa bắt được, quyết định giữ cá hay ném lại.

Vì vậy, câu hỏi là: quyết định này nên được thực hiện như thế nào? Có một số cách đơn giản (hoặc phức tạp) để quyết định khi nào nên dừng câu cá? Tôi nghĩ vấn đề này tương đương với việc xác định, trong một thời gian nhất định, khối lượng cá dự kiến mà một ngư dân tối ưu sẽ mang về nhà nếu chúng bắt đầu vào thời điểm t; quá trình quyết định tối ưu sẽ giữ một con cá nếu và chỉ khi con cá nặng hơn khối lượng dự kiến. Nhưng điều đó có vẻ như tự giới thiệu; chúng tôi đang xác định chiến lược đánh bắt tối ưu theo cách đánh bắt tối ưu và tôi không chắc chắn nên tiến hành như thế nào.

stochastic-processes optimal-stopping

— b2cout
nguồn

Kiểm tra vấn đề thư ký trên Wikipedia - cụ thể là phần 1 / e-law về sự lựa chọn tốt nhất.

— soakley

Tôi nghĩ rằng một sự khác biệt chính ở đây là giả định rằng chúng ta biết mọi thứ được phân phối như thế nào, trong khi đó, chìa khóa cho giải pháp đó là nó sử dụng những người đăng ký 1 / e đầu tiên chỉ để đạt được một số kiến thức đó và xác định ngưỡng tốt. Tôi nghĩ rằng một ý tưởng tương tự không thể làm việc ở đây. Bạn có thể tưởng tượng chỉ cần lấy một ngưỡng từ các bản phân phối, nhưng tôi không nghĩ nó nên được sửa; Tôi nghĩ rằng ngưỡng nên giảm theo thời gian, vì bạn càng ngày càng ít thời gian để bắt tốt hơn / bất kỳ con cá nào.

— b2coutts

@soakley cũng thấy phản ứng của tôi với câu trả lời của olooney; giá trị (dự kiến) của sự chờ đợi không chỉ phụ thuộc vào những gì bạn sẽ nhận được trong tương lai, mà là những gì bắt được chiến lược của bạn sẽ thực sự. Vì vậy, tôi nghĩ rằng có một khía cạnh tự giới thiệu kỳ lạ cho câu hỏi này là tốt.

— b2coutts

Chức năng hoặc giá trị mà chúng tôi cố gắng tối ưu hóa là gì? Đó là, làm thế nào để chúng ta cân nhắc rủi ro và lợi nhuận? Là điểm để đưa ra một phương pháp tối đa hóa giá trị kỳ vọng của kích cỡ cá đánh bắt? Chúng ta chỉ câu cá một ngày hoặc nhiều ngày, và trong trường hợp sau, ngày tương quan như thế nào?

— Sextus Empiricus

Chúng tôi biết phân phối ... điều đó chỉ đề cập đến loại phân phối, hay điều đó cũng bao gồm các tham số phân phối?

— Sextus Empiricus

Đặt biểu thị tốc độ của quá trình Poisson và đặt trong đó là hàm phân phối tích lũy của phân bố kích cỡ cá. $\lambda$ $S(x)=1-F(x)$ $F(x)$

Đặt biểu thị cuối ngày và để , , biểu thị sản lượng khai thác dự kiến trong khoảng mà chúng tôi có được nếu sử dụng chiến lược tối ưu. Rõ ràng . Ngoài ra, nếu chúng ta bắt được một con cá có kích thước tại thời điểm chúng ta nên giữ nó và ngừng câu cá nếu nó lớn hơn . Vì vậy, đây là quy tắc quyết định của chúng tôi. Do đó, việc thực hiện quy trình và quyết định đã thực hiện (điểm xanh) có thể như sau: $t=0$ $g(t)$ $t\le 0$ $(t,0)$ $g(0)=0$ $x$ $t$ $g(t)$

Làm việc trong thời gian liên tục, sử dụng các ý tưởng từ lập trình động ngẫu nhiên , sự thay đổi ngược thời gian được mô tả bằng một phương trình vi phân đơn giản. Xem xét một khoảng thời gian vô hạn . Xác suất chúng ta bắt được một con cá có kích thước trong khoảng thời gian này là nếu không lượng đánh bắt dự kiến của chúng ta sẽ là . $g(t)$ $(t-dt,t)$ $X>g(t)$

λ d t S (g (t)),

$\lambda dt S(g(t)),$

g (t)

$g(t)$

Sử dụng công thức cho tuổi thọ trung bình , kích thước dự kiến của một con cá lớn hơn là $g(t)$

E (X | X > g (t)) = g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x .

$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$

Do đó, sử dụng định luật tổng kỳ vọng, sản lượng khai thác dự kiến trong khoảng trở thành $(t-dt,0)$

g (t - d t) = [λ d t S (g (t))] [g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x] + [1 - λ d t S (g (t)] g (t) .

$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$

Sắp xếp lại, chúng tôi thấy rằng thỏa mãn Lưu ý cách vào cuối ngày giảm với tốc độ bằng với sản phẩm của tỷ lệ Poisson và kích thước cá trung bình phản ánh rằng chúng tôi tại điểm đó sẽ là tốt nhất để giữ bất kỳ con cá nào chúng ta có thể bắt được. $g(t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{d g}{d t} = - λ \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x . \end{matrix}

$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$

g (t)

$g(t)$

λ

$\lambda$

\int_{0}^{\infty} S (x) d x

$\int_0^\infty S(x)dx$

Ví dụ 1 : Giả sử kích thước cá sao cho . Phương trình (1) sau đó đơn giản hóa thành là một phương trình vi phân có thể tách rời. Sử dụng điều kiện biên ở trên, giải pháp là cho được hiển thị trong Hình trên cho . Đoạn mã sau so sánh sản lượng khai thác trung bình sử dụng chiến lược này được tính toán dựa trên mô phỏng với giá trị trung bình lý thuyết . $X\sim \exp(\alpha)$ $S(x)=e^{-\alpha x}$

\frac{d g}{d t} = - \frac{λ}{α} e^{- α g (t)}

$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$

g (t) = \frac{1}{α} \ln (1 - λ t),

$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$

t \leq 0

$t\le 0$

α = λ = 1

$\alpha=\lambda=1$

g (- 12)

$g(-12)$

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

Ví dụ 2: Nếu một dẫn xuất tương tự dẫn đến là giải pháp của (1). Lưu ý cách có xu hướng kích thước cá tối đa là . $X \sim U(0,1)$

g (t) = 1 - \frac{1}{1 - λ t / 2}

$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$

g (t)

$g(t)$

t \to - \infty

$t\rightarrow -\infty$

— Tuleo
nguồn

Không rõ lý do tại sao chiến lược dừng lại nếu bạn bắt được một con cá có kích thước vượt quá , là tối ưu. Sẽ có ý nghĩa hơn để dừng lại nếu kích thước cá vượt quá kích thước cá tối đa dự kiến trong .

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

— Alex R.

Bạn sẽ ngừng câu cá trước khi bạn có cơ hội chọn những con cá lớn nhất. là kích thước dự kiến của con cá mà bạn quyết định bắt trong khoảng . Đó cũng là quy tắc quyết định, tại thời điểm , dừng câu cá nếu bạn bắt được một con cá lớn hơn .

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

t

$t$

g (t)

$g(t)$

— Jarle Tufto

@AlexR. Tôi đã thử mô phỏng ví dụ 2 bằng kích thước cá tối đa dự kiến Nó gần nhưng hoạt động kém hơn. Kỳ vọng tối đa bao gồm cá sẽ không được chọn (những con đó hóa ra nhỏ hơn ). Với kỳ vọng tối đa này, bạn có xu hướng chờ đợi đến thời điểm đó mà bạn có được một lợi thế rất thuận lợi. Điều này cung cấp cho bạn thường xuyên hơn cá lớn, nhưng với chi phí của cá nhỏ hơn, hoặc không có gì cả.

g^{'} (t) = 1 - \frac{e^{λ t} - 1}{λ t}

$g'(t)=1-\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda t}$

g^{'} (t)

$g'(t)$

— Sextus Empiricus