Có bất kỳ phân phối nào khác ngoài Cauchy mà trung bình số học của một mẫu tuân theo cùng một phân phối không?

Nếu tuân theo phân phối Cauchy thì cũng tuân theo chính xác phân phối tương tự như ; xem chủ đề này . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

Liệu tài sản này có một tên?
Có bất kỳ phân phối nào khác mà điều này là đúng?

BIÊN TẬP

Một cách khác để đặt câu hỏi này:

Đặt là biến ngẫu nhiên có mật độ xác suất . $X$ $f(x)$

để , nơi biểu thị quan sát thứ i của . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ chính nó có thể được coi như là một biến ngẫu nhiên, mà không cần điều hòa trên bất kỳ giá trị cụ thể của . $X$

Nếu tuân theo phân phối Cauchy, thì hàm mật độ xác suất của là $X$ $Y$ $f(x)$

Có bất kỳ loại hàm mật độ xác suất (không tầm thường *) nào khác cho dẫn đến có hàm mật độ xác suất là không? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* Ví dụ tầm thường duy nhất tôi có thể nghĩ đến là một đồng bằng Dirac. tức là không phải là một biến ngẫu nhiên

— Chechy Levas
nguồn

Tiêu đề của bạn không có ý nghĩa gì, bởi vì "giá trị mong đợi của một mẫu" là một con số. Bạn có nghĩa là trung bình số học của mẫu thay thế? Câu hỏi cũng mơ hồ: bởi "phân phối", bạn có nghĩa là một phân phối cụ thể hay bạn có nghĩa là - như được đề xuất bởi thuật ngữ "Cauchy" - một gia đình phân phối? Đó không phải là một sự tinh tế nhỏ: câu trả lời hoàn toàn thay đổi tùy thuộc vào ý của bạn. Vui lòng chỉnh sửa bài viết của bạn để làm rõ nó.

— whuber

@whuber, tôi đã thêm phần thứ hai vào câu hỏi hy vọng sẽ thắt chặt phạm vi giải thích có thể.

— Chechy Levas

Cảm ơn bạn; Điều đó làm sạch hầu hết nó lên. Tuy nhiên, có nhiều câu trả lời khác nhau tùy thuộc vào việc bạn sửa hay nếu bạn muốn kết quả này giữ cho tất cả Nếu là cái sau, điều kiện trên cf hoặc cgf là nghiêm trọng và dẫn đến một giải pháp sẵn sàng. Nếu đó là trước đây, thì có khả năng có giải pháp bổ sung.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Tôi đã suy nghĩ cho tất cả nhưng nếu bất cứ ai muốn cung cấp một phân tích trên một cố định cũng được, điều đó sẽ được hoan nghênh.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

Đây thực sự không phải là một câu trả lời, nhưng ít nhất có vẻ không dễ để tạo ra một ví dụ như vậy từ một bản phân phối ổn định. Chúng ta sẽ cần phải tạo ra một rv có chức năng đặc trưng giống như mức trung bình của nó.

Nói chung, đối với một trận hòa iid, cf của trung bình là

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$ với cf của một rv duy nhất Để phân phối ổn định với tham số vị trí bằng 0, chúng tôi có trong đó Phân phối Cauchy tương ứng với , , sao cho thực sự cho bất kỳ tham số tỷ lệ .

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

Nói chung, Để có được , dường như được gọi là vì vậy nhưng

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
nguồn

Vì vậy, có công bằng không khi nói rằng dựa trên phân tích của bạn, Cauchy là giải pháp duy nhất cho a = 1?

— Chechy Levas

Đó là ấn tượng của tôi từ những kết quả này, nhưng tôi khá chắc chắn rằng có nhiều người hiểu biết hơn ở đây để phân phối ổn định.

— Christoph Hanck

Bạn không cần phải gọi lý thuyết phân phối ổn định. Để là cgf, phương trình của bạn là vớiVì là hàm chẵn liên tục và bằng 0 ở gốc, nên điều này ngay lập tức ngụ ý rằng mầm của ở gốc là

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

— whuber

Đây có nên là câu trả lời được chấp nhận? Ngoài cách duy nhất tôi có thể thấy để giải quyết vấn đề này là với , mà (tôi nghĩ) là đồng bằng Dirac.

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$

— Chechy Levas