Ví dụ về phân phối rời rạc không âm trong đó giá trị trung bình (hoặc thời điểm khác) không tồn tại?

Tôi đang thực hiện một số công việc trong scipy và một cuộc trò chuyện đã xuất hiện với một thành viên của nhóm scipy cốt lõi cho dù một biến ngẫu nhiên rời rạc không âm có thể có một khoảnh khắc không xác định. Tôi nghĩ anh ấy đúng nhưng không có bằng chứng tiện dụng. Bất cứ ai có thể hiển thị / chứng minh yêu cầu này? (hoặc nếu tuyên bố này không đúng sự thật)

Tôi không có ví dụ tiện dụng nếu biến ngẫu nhiên rời rạc có hỗ trợ trên nhưng có vẻ như một số phiên bản phân tán của Cauchy nên dùng làm ví dụ để có được một khoảnh khắc không xác định. Điều kiện không tiêu cực (có lẽ bao gồm ) là những gì dường như làm cho vấn đề trở nên thách thức (ít nhất là đối với tôi).$\mathbb{Z}$$0$

Đặt CDF bằng tại các số nguyên hằng số từng phần ở mọi nơi khác và tuân theo tất cả các tiêu chí để trở thành CDF. Kỳ vọng là$F$$1-1/n$$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

mà phân kỳ. Theo nghĩa này, khoảnh khắc đầu tiên (và do đó tất cả các khoảnh khắc cao hơn) là vô hạn. (Xem nhận xét ở cuối để biết thêm chi tiết.)

---

Nếu bạn không thoải mái với ký hiệu này, hãy lưu ý rằng với$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

Điều này xác định phân phối xác suất vì mỗi thuật ngữ là dương và

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

Kỳ vọng là

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

mà phân kỳ.

Cách thể hiện câu trả lời này cho thấy rõ rằng tất cả các giải pháp đều thu được bằng chuỗi phân kỳ như vậy. Thật vậy, nếu bạn muốn phân phối được hỗ trợ trên một số tập hợp con của các giá trị dương với xác suất tổng hợp để thống nhất, thì hãy kỳ vọng để phân kỳ chuỗi trong đó thể hiện nó, cụ thể là$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

phải có tổng một phần khác nhau.

Ngược lại, mọi chuỗi phân kỳ của các số không âm được liên kết với nhiều phân phối dương rời rạc có kỳ vọng phân kỳ. $(a_n)$ ( a n ) ( x n ) ( p n ) q n = 2 - n y n = 2 n a n n = 1 , 2 , Câu . Ω y n Ω = { ω 1 , w 2 , ... , ω i , ... } , Ω Chẳng hạn, đã cho bạn có thể áp dụng thuật toán sau để xác định chuỗi và . Bắt đầu bằng cách đặt và cho Xác định là tập hợp của tất cả phát sinh theo cách này, lập chỉ mục các yếu tố của nó là và xác định phân phối xác suất trên bởi$(a_n)$$(x_n)$$(p_n)$$q_n = 2^{-n}$$y_n = 2^n a_n$$n=1, 2, \ldots.$$\Omega$$y_n$$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

Điều này hoạt động vì tổng của bằng tổng của là và có nhiều nhất là một số phần tử dương có thể đếm được.$p_n$$q_n,$$1,$$\Omega$

Ví dụ, chuỗi rõ ràng là phân kỳ. Thuật toán cho$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

Do đó

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

là tập hợp các dương lẻ của và$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

---

Về những khoảnh khắc vô tận và không tồn tại

Khi tất cả các giá trị đều dương, không có khoảnh khắc nào là "không xác định": tất cả các khoảnh khắc đều tồn tại, nhưng chúng có thể là vô hạn theo nghĩa của một tổng khác nhau (hoặc tích phân), như được hiển thị ở đầu câu trả lời này.

Nói chung, tất cả các khoảnh khắc được xác định cho các biến ngẫu nhiên dương, bởi vì tổng hoặc tích phân biểu thị chúng hoặc hội tụ hoàn toàn hoặc nó phân kỳ (là "vô hạn") Ngược lại, các khoảnh khắc có thể trở thành không xác định cho các biến có giá trị dương và âm , bởi vì - theo định nghĩa của tích phân Lebesgue - khoảnh khắc là sự khác biệt giữa một khoảnh khắc của phần dương và một khoảnh khắc của giá trị tuyệt đối của phần âm. Nếu cả hai đều là vô hạn, sự hội tụ là không tuyệt đối và bạn phải đối mặt với vấn đề trừ đi một vô cực từ vô cực: điều đó không tồn tại.

Đây là một ví dụ nổi tiếng: Đặt lấy giá trị với xác suất , cho mỗi số nguyên . Sau đó lấy các giá trị trong (một tập hợp con) các số nguyên dương; tổng khối lượng là , nhưng kỳ vọng của nó là Biến ngẫu nhiên phát sinh trong nghịch lý St. Petersburg .2 k 2 - k k ≥ 1 X Σ ∞ k = 1 2 - k = 1 E ( X ) = ∞ Σ k = 1 2 k P ( X = 2 k ) = ∞ Σ k = 1 1 = ∞ . $X$$2^k$$2^{-k}$$k\ge1$$X$$\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

$$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$$ $X$

1. Các phân phối zeta là một phân phối rời rạc khá nổi tiếng trên các số nguyên dương mà không có nghĩa là hữu hạn (đối với ).$1<\theta\leq 2$

   $P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

   trong đó hằng số chuẩn hóa liên quan đến , hàm zeta Riemann$\zeta(\cdot)$

   (chỉnh sửa: Trường hợp rất giống với câu trả lời của người đánh bóng)$\theta=2$

   Một phân phối khác có hành vi đuôi tương tự là phân phối Yule-Simon .

2. Một ví dụ khác là phân phối nhị thức beta âm với :$0<\alpha\leq 1$

   $P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

một số phiên bản rời rạc của bản phân phối Cauchy

Có, nếu bạn lấy làm giá trị trung bình của phân phối Cauchy trong khoảng xung quanh , thì rõ ràng thời điểm zeroth của nó giống như phân phối Cauchy và khoảnh khắc đầu tiên của nó bất thường đến gần khoảnh khắc đầu tiên của Phân phối Cauchy. Theo như "khoảng xung quanh ", thực sự không quan trọng bằng cách bạn xác định điều đó; lấy , , , vel cetera , và nó sẽ hoạt động. Đối với các số nguyên dương, bạn cũng có thể lấy . Khoảnh khắc zeroth tổng hợp thành một và khoảnh khắc đầu tiên là tổng của , phân kỳ.$p(n)$$n$$n$$(n-1,n]$$[n,n+1)$$[n-.5,n+.5)$$p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$$\frac6{n\pi^2}$

Và trên thực tế đối với bất kỳ đa thức , có một số sao cho tổng thành 1. Nếu sau đó chúng ta lấy thời điểm thứ , trong đó là thứ tự của , điều đó sẽ phân kỳ.$p(n)$$c$$\frac c {p(n)}$$k$$k$$p(n)$