Bao nhiêu lần tôi phải lăn một cái chết để tự tin đánh giá sự công bằng của nó?

(Xin lỗi trước vì sử dụng ngôn ngữ không thay vì ngôn ngữ thống kê.)

Nếu tôi muốn đo tỷ lệ cán mỗi bên của một khuôn sáu mặt vật lý cụ thể trong khoảng +/- 2% với độ tin cậy hợp lý của sự chắc chắn, thì cần bao nhiêu cuộn chết mẫu?

tức là tôi cần bao nhiêu lần để lăn một con súc sắc, đếm từng kết quả, để chắc chắn 98% rằng cơ hội nó lăn mỗi bên trong vòng 14,6% - 18,7%? (Hoặc một số tiêu chí tương tự trong đó người ta chắc chắn khoảng 98% là chết trong vòng 2%.)

(Đây là một mối quan tâm thực tế cho các trò chơi mô phỏng sử dụng con xúc xắc và muốn chắc chắn nhất định xúc xắc thiết kế là chấp nhận được gần 1/6 cơ hội của cán mỗi số. Có tuyên bố rằng nhiều con xúc xắc chung thiết kế đã được đo lăn 29% 1 bằng cách lăn vài con xúc xắc như vậy 1000 lần mỗi lần.)

— Dronz
nguồn

Điều này khó hơn nhiều so với việc tìm khoảng tin cậy cho nhị thức, vì bạn muốn kiểm tra tất cả các xác suất. Hãy xem bài viết của Hsiuying Wang về các khoảng tin cậy đồng thời cho các phân phối đa phương thức ( Tạp chí Phân tích đa biến 2008, 99, 5, 896-911). Bạn có thể tìm thấy một số mã trong bài đăng trên blog này , nó cũng tóm tắt nhanh về một số công việc đã được thực hiện về việc này.

— idnavid

Lưu ý rằng nếu bạn chỉ quan tâm đến việc kiểm tra xem 1 giây có được sử dụng nhiều thời gian hay không, điều này sẽ đơn giản hóa câu hỏi rất nhiều.

— Dennis Jaheruddin

Điều quan trọng cần lưu ý là "khoảng tin cậy" không cung cấp cho bạn "khả năng phần trăm là chính xác". Tôi nghi ngờ rằng bạn đang sử dụng cách sử dụng phổ biến rất hợp lý của thuật ngữ "chắc chắn 98%", nhưng bạn phải biết bất cứ lúc nào ai đó đề cập đến "khoảng tin cậy" hoàn toàn không giống với tỷ lệ 98%: link.springer.com/ bài viết / 10.3758% 2Fs13423-013-0572-3

— BrianH

@BrianH Cảm ơn bạn! Tôi không chỉ có nghĩa là biểu hiện thông tục, nhưng đang tìm cách định lượng sự chắc chắn ngụ ý trong bài kiểm tra. Đối với tôi, dường như cũng có ý nghĩa khi nói rằng tôi mong đợi một số kết quả chết có thể tính được phần trăm thời gian, rằng sẽ có một phép tính tương tự (nhưng phức tạp hơn) về khả năng tôi sẽ đưa ra kết quả trong một tỷ lệ lỗi nhất định trong I roll n lần, đó là những gì tôi nghĩ rằng tôi hiểu câu trả lời của Xiamoi (và nhận xét tiếp theo) đang nói. Vâng?

— Dronz

@Dronz Công bằng mà nói, đây là một trong những điều mà bạn thực sự nghĩ sẽ thẳng thắn hơn thực tế. Thực tế là khó khăn Dưới đây là một số câu hỏi quan trọng liên quan đến nơi khác để giúp cung cấp cho bạn một ý tưởng về cách không có câu trả lời vô cùng thẳng về phía trước: frequentist math.stackexchange.com/questions/1578932/... Bayesian math.stackexchange.com/questions/1584833/... và vui vẻ: rpg.stackexchange.com/questions/70802/ Ấn

— BrianH

TL; DR: nếu $p$ = 1/6 và bạn muốn biết $n$ cần bao nhiêu thì chắc chắn 98% xúc xắc là công bằng (trong vòng 2%), $n$ cần tối thiểu $n$ 766 .

Gọi $n$ là số lượng cuộn và $X$ số lượng cuộn hạ cánh ở một số mặt được chỉ định. Sau đó $X$ theo phân phối Binomial (n, p) trong đó $p$ là xác suất nhận được bên được chỉ định đó.

Theo định lý giới hạn trung tâm, chúng ta biết rằng

\sqrt{n} (X / n - p) \to N (0, p (1 - p))

$\sqrt{n} (X/n - p) \to N(0,p(1-p))$

Vì $X/n$ là giá trị trung bình mẫu của $n$ Bernoulli $(p)$ biến ngẫu nhiên. Do đó đối với $n$ lớn , khoảng tin cậy cho $p$ có thể được xây dựng là

\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}

$\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Kể từ khi $p$ là không rõ, chúng ta có thể thay thế nó bằng trung bình mẫu , và bởi định lý hội tụ khác nhau, chúng ta biết khoảng tin cậy kết quả sẽ là tiệm cận hợp lệ. Vì vậy, chúng tôi nhận được khoảng tin cậy của mẫu $\hat{p} = X/n$

\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}

$\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

với . Tôi sẽ giả sử bạn biết -scores là gì. Ví dụ: nếu bạn muốn khoảng tin cậy 95%, bạn lấy . Vì vậy, đối với một mức độ tin cậy cho chúng tôi có $\hat{p} = X/n$ $Z$ $Z=1.96$ $\alpha$

\hat{p} \pm Z_{α} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}

$\hat{p} \pm Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Bây giờ, giả sử bạn muốn khoảng tin cậy này có độ dài nhỏ hơn $C_\alpha$ và muốn biết mẫu chúng ta cần để tạo ra trường hợp này lớn đến mức nào. Vâng, điều này tương tự để hỏi những gì $n_\alpha$ thỏa mãn

Z_{α} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n_{α}}} \leq \frac{C_{α}}{2}

$Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_\alpha}} \leq \frac{C_\alpha}{2}$

Mà sau đó được giải quyết để có được

n_{α} \geq {(\frac{2 Z_{α}}{C_{α}})}^{2} \hat{p} (1 - \hat{p})

$n_\alpha \geq \left(\frac{2 Z_\alpha}{C_\alpha}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$

Vì vậy, cắm vào giá trị của bạn cho $Z_\alpha$ , $C_\alpha$ , và ước tính để có được một ước tính cho . Lưu ý rằng vì không xác định nên đây chỉ là ước tính, nhưng không có triệu chứng (vì trở nên lớn hơn) nên chính xác. $\hat{p}$ $n_\alpha$ $p$ $n$

— Xiaomi
nguồn

Cảm ơn. Vì tôi đã không làm toán kiểu đại học trong nhiều thập kỷ, tôi có thể gặp rắc rối với bạn khi cắm số và thực sự cho tôi số lần chơi bóng tôi cần để lăn, như một số nguyên không?

— Dronz

p = 1 / 6

$p = 1/6$

n

$n$

n

$n$

n \geq 766

$n \geq 766$

C_{α}

$C_\alpha$

Có thể thú vị hơn khi xem xét phân phối đa quốc gia, vì bây giờ chúng tôi thử nghiệm riêng cho từng bên. Điều này không tính đến tất cả các thông tin chúng tôi có về vấn đề này. Đối với một cái nhìn intiuitive giải thích tại stat.berkeley.edu/~stark/SticiGui/Text/chiSquare.htm

— Jan

Tôi đồng ý với @Jan: Câu trả lời này không giải quyết được câu hỏi. Hơn nữa, nó không thể dễ dàng được điều chỉnh để tạo ra một câu trả lời bằng cách áp dụng riêng cho tất cả sáu mặt, bởi vì sáu bài kiểm tra phụ thuộc lẫn nhau.

— whuber

Đây là một câu trả lời hay, nhưng tôi hoàn toàn đồng ý với @Jan, whuber. Câu hỏi này xứng đáng có câu trả lời dựa trên phân phối chi bình phương và đa phương.

— Łukasz Tốt nghiệp