Phân phối tổng số mũ

Đặt và là các biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân độc lập và phân phối theo tỷ lệ với tỷ lệ . Đặt .$X_1$$X_2$$\lambda$$S_2 = X_1 + X_2$

H: Hiển thị rằng có PDF .$S_2$$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$

Lưu ý rằng nếu các sự kiện xảy ra theo Quy trình Poisson (PP) với tỷ lệ , sẽ biểu thị thời gian của sự kiện thứ 2.$\lambda$$S_2$

Phương pháp thay thế được đánh giá cao. Các phương pháp được cung cấp thường được sử dụng khi học lý thuyết xếp hàng & các quy trình ngẫu nhiên.

Nhắc lại phân bố mũ là trường hợp đặc biệt của phân phối Gamma (với tham số hình dạng ). Tôi đã học được rằng có một phiên bản tổng quát hơn về điều này ở đây có thể được áp dụng.$1$

Phương pháp tiếp cận
điều hòa Điều kiện về giá trị của . Bắt đầu với chức năng phân phối tích lũy (CDF) cho . $X_1$$S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Đây là CDF của phân phối. Để lấy PDF, hãy phân biệt với ( xem tại đây ).$x$

Đây là bản phân phối Erlang (xem tại đây) .$(2,\lambda)$

$X_1$$X_2$$S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Phương pháp tiếp cận MGF Phương pháp
này sử dụng chức năng tạo mô men (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$