Khi nào thích chức năng tạo mô men cho hàm đặc trưng?

Hãy $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ là một không gian xác suất, và để cho $X : \Omega \to \mathbb{R}^n$ là một vector ngẫu nhiên. Đặt $P_X = X_* P$ là phân phối của $X$ , số đo Borel trên $\mathbb{R}^n$ .

• Các chức năng đặc trưng của $X$ là hàm $$\varphi_X(t) = E[e^{i t \cdot X}] = \int_\Omega e^{i t \cdot X} \, dP,$$ được xác định cho$t \in \mathbb{R}^n$ (biến ngẫu nhiên$e^{i t \cdot X}$ được giới hạn do đó trong$L^1(P)$ cho tất cả$t$ ). Đây là biến đổi Fourier của$P_X$ .
• Các chức năng tạo ra khoảnh khắc ( MGF ) của $X$ là hàm $$M_X(t) = E[e^{t \cdot X}] = \int_\Omega e^{t \cdot X} \, dP,$$ được xác định cho tất cả$t \in \mathbb{R}^n$ mà tích phân ở trên tồn tại. Đây là biến đổi Laplace của$P_X$ .

Chúng ta có thể thấy rằng hàm đặc trưng được xác định ở mọi nơi trên $\mathbb{R}^n$ , nhưng mgf có một miền phụ thuộc vào $X$ và miền này có thể chỉ là $\{0\}$ (ví dụ, điều này xảy ra đối với biến ngẫu nhiên phân phối Cauchy ).

Mặc dù vậy, các hàm đặc trưng và mgf có chung nhiều thuộc tính, ví dụ:

1. Nếu $X_1, \ldots, X_n$ là độc lập, sau đó $$\varphi_{X_1 + \cdots + X_n}(t) = \varphi_{X_1}(t) \cdots \varphi_{X_n}(t)$$ cho tất cả$t$ , và $$M_{X_1 + \cdots + X_n}(t) = M_{X_1}(t) \cdots M_{X_n}(t)$$ cho tất cả$t$ mà tồn tại của mgf.
2. Hai vectơ ngẫu nhiên $X$ và $Y$ có cùng một phân phối nếu và chỉ nếu $\varphi_X(t) = \varphi_Y(t)$ cho tất cả các $t$ . Tương tự mgf của kết quả này là nếu $M_X(t) = M_Y(t)$ cho tất cả $t$ trong một số lân cận $0$ , thì $X$ và $Y$ có cùng phân phối.
3. Các hàm đặc trưng và mgf của các bản phân phối phổ biến thường có dạng tương tự nhau. Ví dụ, nếu $X \sim N_n(\mu, \Sigma)$ ( $n$ chiều chuẩn với trung bình $\mu$ và phương sai ma trận $\Sigma$ ), sau đó $$\varphi_X(t) = \exp\left(i \mu\cdot t - \frac{1}{2} t \cdot (\Sigma t)\right)$$ và $$M_X(t) = \exp\left(\mu\cdot t - \frac{1}{2} t \cdot (\Sigma t)\right).$$
4. Khi một số giả định nhẹ giữ, cả hàm đặc trưng và mgf có thể được phân biệt thành các khoảnh khắc tính toán.
5. Định lý liên tục của Lévy đưa ra một tiêu chí để xác định khi nào một chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ trong phân phối đến một biến ngẫu nhiên khác bằng cách sử dụng sự hội tụ của các hàm đặc trưng tương ứng. Có một định lý tương ứng cho mgf's ( Curtiss 1942, Định lý 3 ).

Do các hàm đặc trưng và mgf thường được sử dụng cho cùng một mục đích và thực tế là hàm đặc trưng luôn tồn tại trong khi mgf không tồn tại, đối với tôi, người ta thường thích làm việc với các hàm đặc trưng hơn mgf.

Câu hỏi.

1. Một số ví dụ trong đó mgf là hữu ích hơn các chức năng đặc trưng?
2. Người ta có thể làm gì với một mgf mà người ta không thể làm với chức năng đặc trưng?

Đó là một câu hỏi hay, nhưng là một câu hỏi rộng, vì vậy tôi không thể hứa rằng tôi sẽ nói mọi thứ về nó nên được nói. Câu trả lời ngắn gọn là các kỹ thuật đối thủ khác nhau không phải ở những gì họ có thể làm, mà là cách họ có thể làm điều đó gọn gàng.

Các chức năng đặc trưng đòi hỏi phải thận trọng hơn vì vai trò của số phức. Thậm chí không phải là học sinh cần biết về số phức; đó là tính toán liên quan có những cạm bẫy tinh tế. Ví dụ: tôi có thể nhận được MGF của bản phân phối bình thường chỉ bằng cách hoàn thành hình vuông thay thế thay đổi, nhưng rất nhiều nguồn bất cẩn giả vờ cách tiếp cận sử dụng các hàm đặc trưng cũng dễ dàng như vậy. Nó không phải là, bởi vì bình thường hóa nổi tiếng của tích phân Gauss nói gì về hội nhập trên $ic+\mathbb{R}$ với $c\in\mathbb{R}\backslash\{ 0\}$. Ồ, chúng ta vẫn có thể đánh giá tích phân nếu chúng ta cẩn thận với các đường viền và trên thực tế có một cách tiếp cận thậm chí còn dễ dàng hơn, trong đó chúng ta thể hiện bằng cách tích hợp bởi các phần có $N(0,\,1)$ phân phối của hàm đặc trưng$\phi (t)$ thỏa mãn$\dot{\phi}=-t\phi$ . Nhưng cách tiếp cận MGF thậm chí còn đơn giản hơn và hầu hết các bản phân phối mà sinh viên cần sớm có MGF hội tụ trên một phân đoạn dòng (ví dụ Laplace) hoặc nửa dòng (ví dụ Gamma, hình học, nhị thức âm) hoặc toàn bộ$\mathbb{R}$ ( ví dụ Beta, nhị thức, Poisson, Bình thường). Dù bằng cách nào, đó là đủ để nghiên cứu khoảnh khắc.

Tôi không nghĩ có bất cứ điều gì bạn có thể làm chỉ với MGF, nhưng bạn sử dụng những gì dễ nhất cho nhiệm vụ trong tay. Đây là một cho bạn: cách dễ nhất để tính toán các khoảnh khắc của phân phối Poisson là gì? Tôi cho rằng nó sẽ sử dụng một kỹ thuật khác một lần nữa, hàm tạo xác suất $G(t)=\mathbb{E}t^X=\exp \lambda (t-1)$ . Khi đó biểu tượng Pochhammer rơi $(X)_k$ cho $\mathbb{E}(X)_k=G^{(k)}(1)=\lambda^k$ . Nói chung, thường đáng sử dụng PGF cho các bản phân phối riêng biệt, MGF cho các bản phân phối liên tục bị ràng buộc hoặc có sự phân rã siêu nhỏ trong các đuôi của PDF và chức năng đặc trưng khi bạn thực sự cần nó.

Và tùy thuộc vào câu hỏi bạn đang hỏi, thay vào đó, bạn có thể thấy thận trọng khi sử dụng hàm tạo tích lũy, được định nghĩa là logarit của MGF hoặc CF. Ví dụ, tôi sẽ để nó như một bài tập mà định nghĩa log-MGF của các tích lũy tối đa là $n$ $\operatorname{Exp}(1)$ iids cho $\kappa_m=(m-1)!\sum_{k=1}^n k^{-m}$ , cung cấp tính toán trung bình và phương sai dễ dàng hơn nhiều (tương ứng $\kappa_1$ và $\kappa_2$ ) so với khi bạn viết chúng theo các khoảnh khắc.

Nếu biến ngẫu nhiên của bạn có tất cả các khoảnh khắc của nó, thì MGF tồn tại và nói chung ít nhất là hữu ích như hàm đặc trưng cho bằng chứng.

Để trả lời câu hỏi của bạn, khi MGF tồn tại, nó cung cấp cơ sở cho nhiều tính toán cực kỳ có giá trị liên quan đến $X$ . Cách đơn giản nhất trong số đó là (đối với $t\geq 0$ ),

Ở đây, rhs bây giờ có thể được giảm thiểu trên $t$ . Kỳ lạ thay, ràng buộc này là một trong vài cách đơn giản mà chúng ta biết để có được ước tính về các sự kiện hiếm. Lĩnh vực chung của điều này là Lý thuyết độ lệch lớn , trong đó người ta phải thực hiện rất nhiều công việc để có được giới hạn tốt hơn (chặt chẽ hơn). Một ví dụ phổ biến này đang xem xét $S_n=X_1+\cdots + X_n$ , do đó khi MGF của $X_1$ tồn tại, sau đó người ta có thể hiển thị $P(|S_n-E[X]|>nr)$ phân rã theo cấp số nhân trong$n$ . Điều này thường được gọi làĐịnh lý Cramer.

Dưới đây là một số lưu ý nhỏ gọn về điều này.